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2025-03-21
机器学习
机器学习与深度学习 机器学习 监督学习 监督学习（Supervised Learning） 定义：所有训练数据都具有明确的标签，模型通过这些标签进行学习。 特点：模型训练相对直接，性能受限于标注数据的质量和数量。 示例：传统的分类问题，如手写数字识别、垃圾邮件检测等。 无监督学习（Unsupervised Learning） 定义：训练数据完全没有标签，模型需要自己去发现数据中的模式或结构。 特点：常用于聚类、降维、关联规则挖掘等任务，难以直接用于分类任务。 示例：聚类算法（如K-means）和主成分分析（PCA）。 半监督学习（Semi‑supervised Learning） 定义：介于监督学习和无监督学习之间，使用少量带标签的数据和大量未标签的数据共同训练模型，以在标注数据稀缺时提升分类性能。 特点：结合标签信息与数据分布结构，通过利用未标签数据的内在聚类或流形结构降低对标注数据的依赖，从而提高模型泛化能力并降低标注成本；通常依赖平滑假设和聚类假设等前提。 示例：在猫狗图像分类任务中，先使用少量已标记的猫狗图片训练初始模型，再用该模型为大量未标记图片生成“伪标签”，将这些伪标签数据与原有标记数据合并重新训练，从而获得比仅使用有标签数据更高的分类准确率。 在半监督学习中，为了避免将错误的模型预测“伪标签”纳入训练，必须对每个未标注样本的预测结果进行可信度评估，只保留高置信度、准确率更高的伪标签作为新增训练数据。 深度学习 前向传播 Mini Batch梯度下降 Batch Size（批大小） 定义 Batch Size 指在深度学习模型训练过程中，每次迭代送入网络进行前向传播和反向传播的样本数量。 特点 Batch Size 决定了梯度更新的频率和稳定性；较大的 Batch Size 能更好地利用 GPU 并行计算、减少迭代次数、加快训练速度，但会显著增加显存占用且可能降低模型泛化能力；较小的 Batch Size 则带来更大的梯度噪声，有助于跳出局部最优、提高泛化性能，但训练过程更不稳定且耗时更长。 示例：在 PyTorch 中，使用 DataLoader(dataset, batch_size=32, shuffle=True) 表示每次迭代从数据集中抽取 32 个样本进行训练。一个batch的所有样本会被打包成一个张量，一次性并行送入网络进行计算 将完整训练集分割成若干大小相同的小批量（mini‑batch），每次迭代仅使用一个 mini‑batch 来计算梯度并更新模型参数，结合了批量梯度下降（Batch GD）和随机梯度下降（SGD）的优势。 当 batch_size=1 时退化为随机梯度下降；当 batch_size=m（训练集总样本数）时退化为批量梯度下降。 通常选择 2 的幂（如32、64、128、256）以匹配 GPU/CPU 内存布局并提升运算效率。 算法流程 将训练数据随机打乱并按 batch_size 划分成多个 mini‑batch。 对每个 mini‑batch 执行： 前向传播计算输出。 计算 mini‑batch 上的平均损失。 反向传播计算梯度。 按公式更新参数： $$ \theta \leftarrow \theta - \eta \frac{1}{|\text{batch}|}\sum_{i\in \text{batch}} \nabla_\theta \mathcal{L}(x_i,y_i) $$ 遍历所有 mini‑batch 即完成一个 epoch，可重复多轮直到收敛。 Softmax 公式 假设有一个输入向量 $$ z = [z_1, z_2, \dots, z_K], $$ 则 softmax 函数的输出为： $$ \sigma(z)_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}}, $$ 其中 $i = 1, 2, \dots, K$。 分子：对每个 $z_i$ 取自然指数 $e^{z_i}$，目的是将原始的实数扩展到正数范围。 分母：对所有 $e^{z_j}$ 求和，从而实现归一化，使得所有输出概率和为 1。 交叉熵损失 假设有三个类别，真实标签为第二类，因此用 one-hot 编码表示为： $$ y = [0,\; 1,\; 0]. $$ 假设模型经过 softmax 后输出的预测概率为： $$ \hat{y} = [0.2,\; 0.7,\; 0.1]. $$ 交叉熵损失函数的定义为： $$ L = -\sum_{i=1}^{3} y_i \log \hat{y}_i. $$ 将 $y$ 和 $\hat{y}$ 的对应元素代入公式中： $$ L = -(0 \cdot \log 0.2 + 1 \cdot \log 0.7 + 0 \cdot \log 0.1) = -\log 0.7. $$ 计算 $-\log 0.7$（以自然对数为例）： $$ -\log 0.7 \approx -(-0.3567) \approx 0.3567. $$ 因此，这个样本的交叉熵损失大约为 0.3567。 残差连接 假设一个神经网络层（或一组层）的输入为 $x$，传统的设计会期望该层直接学习一个映射 $F(x)$。而采用残差连接的设计，则将输出定义为： $$ \text{Output} = F(x) + x. $$ 这里： $F(x)$ 表示经过几层变换（比如卷积、激活等）后所学到的“残差”部分， $x$ 则是直接通过捷径传递过来的输入。 为什么使用残差连接 缓解梯度消失问题 在深层网络中，梯度往往会在反向传播过程中逐层衰减，而残差连接为梯度提供了一条捷径，使得梯度可以直接从后面的层传递到前面的层，从而使得网络更容易训练。 简化学习任务 网络不必学习从零开始构造一个完整的映射，而只需要学习输入与目标之间的残差。这样可以使得学习任务变得更简单，更易收敛。 提高网络性能 在很多实际应用中（例如图像识别中的 ResNet），引入残差连接的网络能训练得更深，并在多个任务上取得更好的效果。
科研
zy123
3月21日
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2025-03-21
图神经网络
李振河 陈茂森 图神经网络 图表示学习的本质是把节点映射成低维连续稠密的向量。这些向量通常被称为 嵌入（Embedding），它们能够捕捉节点在图中的结构信息和属性信息，从而用于下游任务（如节点分类、链接预测、图分类等）。 低维：将高维的原始数据（如邻接矩阵或节点特征）压缩为低维向量，减少计算和存储开销。 连续：将离散的节点或图结构映射为连续的向量空间，便于数学运算和捕捉相似性。 稠密：将稀疏的原始数据转换为稠密的向量，每个维度都包含有意义的信息。 对图数据进行深度学习的“朴素做法” 把图的邻接矩阵和节点特征“直接拼接”成固定维度的输入，然后将其送入一个深度神经网络（全连接层）进行学习。 这种做法面临重大问题，导致其并不可行： $O(|V|^2)$ 参数量 ，参数量庞大 无法适应不同大小的图 ，需要固定输入维度 对节点顺序敏感 ，节点编号顺序一变，输入就完全变样，但其实图的拓扑并没变（仅节点编号/排列方式不同）。 A —— B | | D —— C 矩阵 1（顺序 $[A,B,C,D]$）： $$ M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\ 1 & 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 0 & 1\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 矩阵 2（顺序 $[C,A,D,B]$）： $$ M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ 两个矩阵完全不同，但它们对应的图是相同的（只不过节点的顺序改了）。 计算图 在图神经网络里，通常每个节点$v$ 都有一个局部计算图，用来表示该节点在聚合信息时所需的所有邻居（及邻居的邻居……）的依赖关系。 直观理解 以节点 $v$ 为根； 1-hop 邻居在第一层，2-hop 邻居在第二层…… 逐层展开直到一定深度（例如 k 层）。 这样形成一棵“邻域树”或“展开图”，其中每个节点都需要从其子节点（邻居）获取特征进行聚合。 例子 在图神经网络中，每一层的计算通常包括以下步骤： 聚合（Aggregation）：将邻居节点的特征聚合起来（如求和、均值、最大值等）。 变换（Transformation）：将聚合后的特征通过一个神经网络（如 MLP）进行非线性变换。 A | B / \ C D 假设每个节点的特征是一个二维向量： 节点 $ A $ 的特征：$ h_A = [1.0, 0.5] $ 节点 $ B $ 的特征：$ h_B = [0.8, 1.2] $ 节点 $ C $ 的特征：$ h_C = [0.3, 0.7] $ 节点 $ D $ 的特征：$ h_D = [1.5, 0.9] $ 第 1 层更新：$A^{(0)} \to A^{(1)}$ 节点 $A$ 的 1-hop 邻居：只有 $B$。 聚合（示例：自+邻居取平均）： $$ z_A^{(1)} = \frac{A^{(0)} + B^{(0)}}{2} = \frac{[1.0,,0.5] + [0.8,,1.2]}{2} = \frac{[1.8,,1.7]}{2} = [0.9,,0.85]. $$ MLP 变换：用一个MLP映射 $z_A^{(1)}$ 到 2 维输出： $$ A^{(1)} ;=; \mathrm{MLP_1}\bigl(z_A^{(1)}\bigr). $$ （数值略，可想象 $\mathrm{MLP}([0.9,0.85]) \approx [1.0,0.6]$ 之类。） 结果：$A^{(1)}$ 包含了 A 的初始特征 + B 的初始特征信息。 第 2 层更新：$A^{(1)} \to A^{(2)}$ 为了让 A 获得 2-hop 范围（$C, D$）的信息，需要先让 $B$ 在第 1 层就吸收了 $C, D$ 的特征，从而 $B^{(1)}$ 蕴含 $C, D$ 信息。然后 A 在第 2 层再从 $B^{(1)}$ 聚合。 节点 B 在第 1 层（简要说明） 邻居：${A,C,D}$ 聚合：$z_B^{(1)} = \frac{B^{(0)} + A^{(0)} + C^{(0)} + D^{(0)}}{4} = \frac{[0.8,,1.2] + [1.0,,0.5] + [0.3,,0.7] + [1.5,,0.9]}{4} = \frac{[3.6,,3.3]}{4} = [0.9,,0.825].$ MLP 变换：$B^{(1)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_B^{(1)}\bigr)$。 此时 $B^{(1)}$ 已经包含了 $C, D$ 的信息。 节点 $A$ 的第 2 层聚合 邻居：$B$，但此时要用 $B^{(1)}$（它已吸收 C、D） 聚合： $$ z_A^{(2)} = A^{(1)} + B^{(1)}. $$ MLP 变换： $$ A^{(2)} = \mathrm{MLP_2}\bigl(z_A^{(2)}\bigr). $$ 结果：$A^{(2)}$ 就包含了 2-hop 范围的信息，因为 $B^{(1)}$ 中有 $C, D$ 的贡献。 GNN 的层数就是节点聚合邻居信息的迭代次数（也是计算图的层数）。 同一层里，所有节点共享一组参数（同一个 MLP 或全连接神经网络） 矩阵运算 $\tilde D^{-1},\tilde A,\tilde D^{-1}H$ $H'=\tilde D^{-1},\tilde A,H$ A | B / \ C D 1.构造矩阵 含自环邻接矩阵 $\tilde A=A+I$ $$ \tilde A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 度矩阵 $\tilde D$（对角＝自身＋邻居数量） $$ \tilde D = \mathrm{diag}(2,\,4,\,2,\,2) $$ 特征矩阵 $H$（每行为一个节点的特征向量） $$ H = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.5\\ 0.8 & 1.2\\ 0.3 & 0.7\\ 1.5 & 0.9 \end{bmatrix} $$ **2.计算** 求和： $\tilde A,H$ $$ \tilde A H = \begin{bmatrix} 1.8 & 1.7\\ 3.6 & 3.3\\ 1.1 & 1.9\\ 2.3 & 2.1 \end{bmatrix} $$ 平均： $\tilde D^{-1}(\tilde A H)$ $$ \tilde D^{-1}\tilde A H = \begin{bmatrix} 0.90 & 0.85\\ 0.90 & 0.825\\ 0.55 & 0.95\\ 1.15 & 1.05 \end{bmatrix} $$ GCN 在 GCN 里，归一化（normalization）的核心目的就是 平衡不同节点在信息传播（message‑passing）中的影响力，避免「高连通度节点（high‑degree nodes）」主导了所有邻居的特征聚合。 $H' = \tilde D^{-1},\tilde A,\tilde D^{-1}H$ 对节点 $i$ 来说： $$ H'_i = \frac1{d_i}\sum_{j\in \mathcal N(i)}\frac1{d_j}\,H_j $$ 先用源节点 $j$ 的度 $d_j$ 缩小它的特征贡献，再用目标节点 $i$ 的度 $d_i$ 归一化总和。 GCN中实际的公式： $$ H^{(l+1)} = \sigma\Big(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}H^{(l)}W^{(l)}\Big) $$ 其中： $H^{(l)}$ 是第 $l$ 层的输入特征（对第 $0$ 层来说就是节点的初始特征）， $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的可训练权重矩阵，相当于一个简单的线性变换（类似于 MLP 中的全连接层）， $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数（例如 ReLU）， $\tilde{A}$ 是包含自连接的邻接矩阵， $\tilde{D}$ 是 $\tilde{A}$ 的度矩阵。 $\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$的优势 1.对称归一化：$\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 是一个对称矩阵，这意味着信息在节点之间的传播是双向一致的。这种对称性特别适合无向图，因为无向图的邻接矩阵 $\tilde A$ 本身就是对称的。 2.适度抑制高连通度节点：对称平方根归一化通过 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 对源节点和目标节点同时进行归一化，能够适度抑制高连通度节点的特征贡献，而不会过度削弱其影响力。 3.谱半径控制：对称平方根归一化后的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 的谱半径（最大特征值）被控制在 $[0, 1]$ 范围内，这有助于保证模型的数值稳定性。 4.归一化拉普拉斯矩阵：对称平方根归一化的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 与归一化拉普拉斯矩阵 $L = I - \tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 有直接联系。归一化拉普拉斯矩阵在图信号处理中具有重要的理论意义，能够更好地描述图的频谱特性。 GraphSAGE优化 $$ h_v^{(k+1)} = \sigma \Big( \mathbf{W}_{\text{self}}^{(k)} \cdot h_v^{(k)} \;+\; \mathbf{W}_{\text{neigh}}^{(k)} \cdot \mathrm{MEAN}_{u\in N(v)}\bigl(h_u^{(k)}\bigr) \Big), $$ GAT 图注意力网络（GAT）中最核心的运算：图注意力层。它的基本思想是： 线性变换：先对每个节点的特征 $\mathbf{h}_i$ 乘上一个可学习的权重矩阵 $W$，得到变换后的特征 $W \mathbf{h}_i$。 自注意力机制：通过一个可学习的函数 $a$，对节点 $i$ 和其邻居节点 $j$ 的特征进行计算，得到注意力系数 $e_{ij}$。这里会对邻居进行遮蔽（masked attention），即只计算图中有边连接的节点对。 归一化：将注意力系数 $e_{ij}$ 通过 softmax 进行归一化，得到 $\alpha_{ij}$，表示节点 $j$ 对节点 $i$ 的重要性权重。 聚合：最后利用注意力系数加权邻居节点的特征向量，并经过激活函数得到新的节点表示 $\mathbf{h}_i'$。 多头注意力：为增强表示能力，可并行地执行多个独立的注意力头（multi-head attention），再将它们的结果进行拼接（或在最后一层进行平均），从而得到最终的节点表示。 注意力系数 注意力系数（未归一化） $$ e_{ij} = a\bigl(W\mathbf{h}_i,\; W\mathbf{h}_j\bigr) $$ 注意力系数的 softmax 归一化 $$ \alpha_{ij} = \text{softmax}_j\bigl(e_{ij}\bigr) = \frac{\exp\bigl(e_{ij}\bigr)}{\sum_{k \in \mathcal{N}_i} \exp\bigl(e_{ik}\bigr)} $$ 具体的注意力计算形式（以单层前馈网络 + LeakyReLU 为例） $$ \alpha_{ij} = \frac{\exp\Bigl(\text{LeakyReLU}\bigl(\mathbf{a}^\top \bigl[\;W\mathbf{h}_i \,\|\, W\mathbf{h}_j\bigr]\bigr)\Bigr)} {\sum_{k\in \mathcal{N}_i} \exp\Bigl(\text{LeakyReLU}\bigl(\mathbf{a}^\top \bigl[\;W\mathbf{h}_i \,\|\, W\mathbf{h}_k\bigr]\bigr)\Bigr)} $$ 其中，$\mathbf{a}$ 为可学习的参数向量，$|$ 表示向量拼接（concatenation）。 示例假设： 节点特征： 假设每个节点的特征向量维度为 $F=2$。 $$ \mathbf{h}_i = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix},\quad \mathbf{h}_j = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix},\quad \mathbf{h}_k = \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix}. $$ 线性变换矩阵 $W$： 为了简化，我们令 $W$ 为单位矩阵（即 $W\mathbf{h} = \mathbf{h}$）。 $$ W = \begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{bmatrix}. $$ 可学习向量 $\mathbf{a}$： 假设 $\mathbf{a}$ 为 4 维向量，设 $$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix}1 \ 1 \ 1 \ 1\end{bmatrix}. $$ 激活函数使用 LeakyReLU（负数斜率设为0.2，但本例中结果为正数，所以不变）。 计算步骤： 计算 $W\mathbf{h}_i$、$W\mathbf{h}_j$ 和 $W\mathbf{h}_k$： $$ W\mathbf{h}_i = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix},\quad W\mathbf{h}_j = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}, \quad W\mathbf{h}_k = \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix} $$ 构造拼接向量并计算未归一化的注意力系数 $e_{ij}$ 和 $e_{ik}$： 对于邻居 $j$： $$ \bigl[W\mathbf{h}_i ,|, W\mathbf{h}_j\bigr] = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix}. $$ 内积计算： $$ \mathbf{a}^\top \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix} = 1+0+0+1 = 2. $$ 经过 LeakyReLU（正数保持不变）： $$ e_{ij} = 2. $$ 对于邻居 $k$,同理得到： $$ e_{ik} = 3. $$ 计算 softmax 得到归一化注意力系数 $\alpha_{ij}$： $$ \alpha_{ij} = \frac{\exp(2)}{\exp(2)+\exp(3)} = \frac{e^2}{e^2+e^3}\approx 0.269. $$ 同理： $$ \alpha_{ik} = \frac{\exp(3)}{\exp(2)+\exp(3)} \approx 0.731. $$ 特征聚合 单头注意力聚合（得到新的节点特征） $$ \mathbf{h}_i' = \sigma\Bigl(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij} \,W \mathbf{h}_j\Bigr) $$ 对$i$ 的邻居节点加权求和，再经过非线性激活函数得到新的特征表示 多头注意力(隐藏层时拼接) 每个头都有自己的一组可学习参数，并独立计算注意力系数和输出特征。以捕捉邻居节点的多种不同关系或特征。 如果有 $K$ 个独立的注意力头，每个头输出 $\mathbf{h}_i'^{(k)}$，则拼接后的输出为： $$ \mathbf{h}_i' = \big\Vert_{k=1}^K \sigma\Bigl(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij}^{(k)} \, W^{(k)} \mathbf{h}_j\Bigr) $$ 其中，$\big\Vert$ 表示向量拼接操作，$\alpha_{ij}^{(k)}$、$W^{(k)}$ 分别为第 $k$ 个注意力头对应的注意力系数和线性变换。 例假如： $$ \mathbf{h}_i'^{(1)} = \sigma\left(\begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}. \\ \mathbf{h}_i'^{(2)} = \sigma\left(\begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}. $$ 将两个头的输出在特征维度上进行拼接，得到最终节点 $i$ 的新特征表示： $$ \mathbf{h}_i' = \mathbf{h}_i'^{(1)} \,\Vert\, \mathbf{h}_i'^{(2)} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} \,\Vert\, \begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \\ 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}. $$ **多头注意力（输出层时平均）** 在最终的输出层（例如分类层）通常会将多个头的结果做平均，而不是拼接： $$ \mathbf{h}_i' = \sigma\Bigl( \frac{1}{K} \sum_{k=1}^K \sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij}^{(k)} \, W^{(k)} \mathbf{h}_j \Bigr) $$ 直推式学习与归纳式学习 直推式学习（Transductive Learning） 模型直接在固定的训练图上学习节点的表示或标签，结果只能应用于这张图中的节点，无法直接推广到新的、未见过的节点或图。 例如：DeepWalk ，它通过对固定图的随机游走生成节点序列来学习节点嵌入，因此只能得到训练图中已有节点的表示，一旦遇到新节点，需要重新训练或进行特殊处理。 注意：GCN是直推式的，因为它依赖于整个图的归一化邻接矩阵进行卷积操作，需要在固定图上训练。 归纳式学习（Inductive Learning） 模型学习的是一个映射函数或规则，可以将这种规则推广到未见过的新节点或新图上。这种方法能够处理动态变化的图结构或新的数据。 例如： 图神经网络的变体（GAT）都是归纳式的，因为它们在聚合邻居信息时学习一个共享的函数，该函数能够应用于任意新节点。 局部计算：GAT 的注意力机制仅在每个节点的局部邻域内计算，不依赖于全局图结构。 参数共享：模型中每一层的参数（如 $W$ 和注意力参数 $\mathbf{a}$）是共享的，可以直接应用于新的、未见过的图。 泛化到新节点：在许多推荐系统中，如果有新用户加入（新节点），我们需要给他们做个性化推荐，这就要求系统能够在不重新训练整个模型的情况下，为新用户生成表示（Embedding），并且完成推荐预测。 泛化到新图： 分子图预测。我们会用一批训练分子（每个分子是一张图）来训练一个 GNN 模型，让它学会如何根据图结构与原子特征来预测分子的某些性质（如毒性、溶解度、活性等）。训练完成后，让它在新的分子上做预测。 GNN的优点： 参数共享 浅层嵌入(如Deepwalk)为每个节点单独学习一个向量，参数量随节点数线性增长。 GNN 使用统一的消息传递/聚合函数，所有节点共享同一套模型参数，大幅减少参数量。 归纳式学习 浅层方法通常无法直接处理训练时未见过的新节点。 GNN 能通过邻居特征和结构来生成新节点的表示，实现对新节点/新图的泛化。 利用节点特征 浅层方法多半只基于连接关系（图结构）。 GNN 可以直接整合节点的属性（文本、图像特征等），生成更具语义信息的嵌入。 更强的表达能力 GNN 通过多层聚合邻居信息，可学习到更丰富的高阶结构和特征交互，往往在多种任务上表现更优。
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zy123
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2025-03-21
matlab
matlab笔记 命令行窗口 clc：清屏（命令行窗口） clear all:把命名的变量删掉，不是命令行窗口 命名规则： 变量命名以字母开头，不可以下划线，变量是区分字母大小写的 脚本 %% xxx 注释（百分号+一个空格） % xxx 也是注释 s='a' '"aaaa",字符串 abs(s) 字符s的ascii码,为97 char(97), 输出'a' numtostr(65) ans='65'，数字转字符串 length(str),字符串的长度 矩阵 A=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9] 分号换行 B=A‘ ，矩阵转置 C=A(:) ,将矩阵拉成一列，按列存储，第一列拼接第二列拼接第三列 D=inv(A) 求逆矩阵 E=zeros(10,5,3) 生成10行5列3维0矩阵 元胞数组 A=cell(1,6)，生成1行6列的小格子，每个小格子可以存放各种数据 eye(3),生成3x3的单位阵 A{2}=eye(3),matlab数组从1开始，不是0
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zy123
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卡尔曼滤波
卡尔曼滤波 卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于线性动态系统状态估计的递归最优滤波算法，它在噪声环境下对系统状态进行估计，并常用于目标跟踪、导航和控制等领域。 卡尔曼滤波假设系统可以用状态空间模型描述，模型包括两个部分： 状态转移模型：描述系统状态如何从上一时刻转移到当前时刻。 测量模型：描述通过传感器获得的测量值与系统状态之间的关系。 这两个模型中均包含随机噪声，分别记为过程噪声和测量噪声。卡尔曼滤波的目标就是在已知这些噪声统计特性的前提下，利用当前和过去的测量值来对系统状态进行最优估计。 引入 公式 状态转移模型 设系统的状态向量为 $\mathbf _k$，控制输入为 $\mathbf{u}_k$，过程噪声为 $\mathbf{w}_k$（假设均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{Q}$，维度和状态向量一致），状态转移模型可写为： $$ \mathbf _k = \mathbf{A} \mathbf _{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1} $$ 其中： $\mathbf{A}$ 是状态转移矩阵， $\mathbf{B}$ 是控制输入矩阵。 测量模型 设测量向量为 $\mathbf{z}_k$，测量噪声为 $\mathbf{v}_k$（假设均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{R}$），测量模型为： $$ \mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf _k + \mathbf{v}_k $$ 其中： $\mathbf{H}$ 是测量矩阵。 这里是真实状态、真实测量、过程噪声、测量噪声。在卡尔曼滤波的预测和更新阶段中，只需在每个时刻把新测得的 $z_k$ （再加上可用的控制输入 $u_{k-1}$）喂进去，滤波器就会自动递推状态估计。 递归过程 卡尔曼滤波的递归过程主要分为两大步：预测（Prediction） 和 更新（Update）。 注意：$\hat{\mathbf }_k^-$右上角的'-'符号是区分预测状态和更新后的状态。 预测步骤 状态预测： 利用系统的状态转移模型，将上一次的状态估计 $\hat{\mathbf }{k-1}$ 通过转移矩阵 $\mathbf{A}$（和控制输入 $\mathbf{B} \mathbf{u}{k-1}$）预测到当前时刻的状态： $$ \hat{\mathbf }k^- = \mathbf{A} \hat{\mathbf }{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} $$ 这里 $\hat{\mathbf }_k^-$ 称为先验状态估计，它反映了系统在没有新测量数据情况下的预期状态。 协方差预测： 同时，将上一次状态的不确定性（协方差矩阵 $\mathbf{P}_{k-1}$）传播到当前时刻，并加上过程噪声 $\mathbf{Q}$ 的影响： $$ \mathbf{P}k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q} $$ 这个预测协方差反映了预测状态的置信程度，不确定性通常会因过程噪声的加入而增大。 更新步骤 当时刻 $k$ 新的测量值 $\mathbf{z}_k$ 到达时，我们使用它来校正预测结果。 卡尔曼增益的计算： 卡尔曼增益 $\mathbf{K}_k$ 衡量了预测的不确定性与测量不确定性之间的权衡。计算公式为： $$ \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k^- \mathbf{H}^\mathrm{T} \left(\mathbf{H} \mathbf{P}_k^- \mathbf{H}^\mathrm{T} + \mathbf{R}\right)^{-1} $$ 当预测的置信度较低（$\mathbf{P}_k^-$较大）时，卡尔曼增益较大，说明更多地信任测量值；反之，则更多地依赖预测值。 状态更新： 根据卡尔曼增益修正先验状态，将测量的偏差信息（即测量值与预测值之间的差异，也叫创新）加权融合： $$ \hat{\mathbf }_k = \hat{\mathbf }_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H} \hat{\mathbf }_k^- \right) $$ 这个更新后的状态 $\hat{\mathbf }_k$ 就是当前时刻的后验状态估计，它综合了预测和测量两方面的信息。 协方差更新： 更新后的协方差表示在新的测量信息下的不确定性： $$ \mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}) \mathbf{P}_k^- $$ 一般来说，经过更新后，状态的不确定性会降低（即协方差矩阵的数值减小）。 疑问： 状态转移模型：为什么包含噪声？ 状态转移模型描述的是系统状态的真实动态行为，它是一个理论模型，表示状态如何从 $\mathbf _{k-1}$ 演化到 $\mathbf k$。由于现实系统存在不确定性（如建模误差、外部扰动等），这些无法精确建模的部分被抽象为**过程噪声 $\mathbf{w}{k-1}$**。因此，模型写作： $$ \mathbf _k = \mathbf{A} \mathbf _{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1} $$ 状态预测：为什么不带噪声？ 在卡尔曼滤波的预测步骤中，我们计算的是状态的期望值（即最优估计），而非真实状态本身。由于噪声 $\mathbf{w}_{k-1}$ 的均值为零，它在预测时的期望贡献为零： $$ \mathbb{E}[\mathbf _k] = \mathbf{A} \mathbb{E}[\mathbf _{k-1}] + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbb{E}[\mathbf{w}_{k-1}] = \mathbf{A} \hat{\mathbf }_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} $$ 协方差预测：噪声的体现 虽然噪声的均值在状态预测中被忽略，但其随机性会导致不确定性累积。因此，协方差预测公式中显式加入了 $\mathbf{Q}$： $$ \mathbf{P}_k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q} $$ 扩展卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，简称 EKF）是一种针对非线性系统状态估计问题的滤波方法。传统的卡尔曼滤波要求系统的状态转移和观测模型都是线性的，而在实际问题中，很多系统往往存在非线性特性。 EKF 的核心思想就是对非线性模型进行局部线性化，然后在线性化后的模型上直接套用标准卡尔曼滤波（KF）的预测和更新公式。 非线性系统模型 假设系统的状态转移和观测模型为非线性的： 状态转移模型： $$ \mathbf k = f(\mathbf {k-1}, \mathbf{u}{k-1}) + \mathbf{w}{k-1} $$ 观测模型： $$ \mathbf{z}_k = h(\mathbf _k) + \mathbf{v}k $$ 其中，$f(\cdot)$ 和 $h(\cdot)$ 为非线性函数，$\mathbf{w}{k-1}$ 和 $\mathbf{v}_k$ 分别表示过程噪声和测量噪声（均假设为零均值高斯噪声）。 线性化 为了使用卡尔曼滤波方法，扩展卡尔曼滤波需要对非线性函数进行局部线性化。具体做法是使用泰勒展开在当前状态估计附近进行一阶近似，计算函数的雅可比矩阵： 状态转移函数 $f$ 的雅可比矩阵： $$ F_k = \left.\frac{\partial f}{\partial \mathbf }\right|{\mathbf =\hat{\mathbf }{k-1}, \mathbf{u}=\mathbf{u}_{k-1}} $$ 观测函数 $h$ 的雅可比矩阵： $$ H_k = \left.\frac{\partial h}{\partial \mathbf }\right|_{\mathbf =\hat{\mathbf }_k^-} $$ 滤波过程 扩展卡尔曼滤波的递归过程与标准卡尔曼滤波类似，但在每一步都需要用雅可比矩阵替换原来的线性模型矩阵： 预测步骤： 状态预测： $$ \hat{\mathbf }k^- = f(\hat{\mathbf }{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) $$ 协方差预测： $$ \mathbf{P}k^- = F_k \mathbf{P}{k-1} F_k^\mathrm{T} + \mathbf{Q} $$ 这里 $F_k$ 是在 $\hat{\mathbf }_{k-1}$ 处计算得到的雅可比矩阵。 更新步骤： 计算卡尔曼增益： $$ \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k^- H_k^\mathrm{T} \left(H_k \mathbf{P}_k^- H_k^\mathrm{T} + \mathbf{R}\right)^{-1} $$ 状态更新： $$ \hat{\mathbf }_k = \hat{\mathbf }_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - h(\hat{\mathbf }_k^-)\right) $$ 协方差更新： $$ \mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k H_k) \mathbf{P}_k^- $$ 通过这样的线性化步骤，EKF 能够对非线性系统进行状态估计，虽然由于线性化近似可能带来一定误差，但在大多数情况下能达到较好的效果。 雅各比矩阵定义 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是一个多变量函数各个分量对各个变量的偏导数组成的矩阵。它反映了在某一点处函数的局部线性化近似，也就是该函数在这一点的“导数”信息。在扩展卡尔曼滤波中，为了对非线性状态转移函数 $f(\mathbf , \mathbf{u})$ 或观测函数 $h(\mathbf )$ 进行线性化，我们需要计算它们在当前估计点的雅可比矩阵。 示例 1：状态转移函数的雅可比矩阵 假设系统的状态为 $\mathbf = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$（例如，$x_1$ 表示位置，$x_2$ 表示速度），状态转移函数定义为： $$ f(\mathbf ) = \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2) \\ f_2(x_1, x_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 0.1 x_1^2 \\ x_2 + 0.05 x_1 \end{bmatrix} $$ 这里函数中的非线性项为 $0.1 x_1^2$ 和 $0.05 x_1$。 求雅可比矩阵 雅可比矩阵 $F$ 是一个 $2 \times 2$ 矩阵，其中每个元素为： $$ F_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} $$ 计算各个偏导数： 对 $f_1(x_1, x_2) = x_1 + x_2 + 0.1 x_1^2$： $\frac{\partial f_1}{\partial x_1} = 1 + 0.2x_1$ $\frac{\partial f_1}{\partial x_2} = 1$ 对 $f_2(x_1, x_2) = x_2 + 0.05 x_1$： $\frac{\partial f_2}{\partial x_1} = 0.05$ $\frac{\partial f_2}{\partial x_2} = 1$ 因此，雅可比矩阵为： $$ F = \begin{bmatrix} 1 + 0.2x_1 & 1 \\ 0.05 & 1 \end{bmatrix} $$ 示例 2：观测函数的雅可比矩阵 假设观测函数为： $$ h(\mathbf ) = \begin{bmatrix} h_1(x_1, x_2) \\ h_2(x_1, x_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{x_1} \\ x_2 \end{bmatrix} $$ 这里假设传感器对位置进行非线性测量（取平方根），而速度直接测量。 求雅可比矩阵 计算各个偏导数： 对 $h_1(x_1, x_2) = \sqrt{x_1}$： $\frac{\partial h_1}{\partial x_1} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ $\frac{\partial h_1}{\partial x_2} = 0$（因为 $h_1$ 与 $x_2$ 无关） 对 $h_2(x_1, x_2) = x_2$： $\frac{\partial h_2}{\partial x_1} = 0$ $\frac{\partial h_2}{\partial x_2} = 1$ 因此，雅可比矩阵为： $$ H = \begin{bmatrix} \frac{1}{2\sqrt{x_1}} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 无迹卡尔曼(UKF) UKF 具体步骤（分步解析） 符号 含义 维度 $ \mathbf $ 系统状态向量 $ n \times 1 $ $ P $ 状态协方差矩阵 $ n \times n $ $ \mathbf{z} $ 观测向量 $ m \times 1 $ $ f(\cdot) $ 非线性状态转移函数 - $ h(\cdot) $ 非线性观测函数 - $ Q $ 过程噪声协方差 $ n \times n $ $ R $ 观测噪声协方差 $ m \times m $ $ \mathcal{X} $ Sigma点集合 $ n \times (2n+1) $ $ W^{(m)} $ 均值权重 $ 1 \times (2n+1) $ $ W^{(c)} $ 协方差权重 $ 1 \times (2n+1) $ $ \alpha, \beta, \kappa $ UKF调参参数（控制Sigma点分布） 标量 Step 1: 生成Sigma点（确定性采样） 目的：根据当前状态均值和协方差，生成一组代表状态分布的采样点。 公式： $$ \begin{aligned} \mathcal{X}_0 &= \hat{\mathbf }_{k-1|k-1} \\ \mathcal{X}_i &= \hat{\mathbf }_{k-1|k-1} + \left( \sqrt{(n+\lambda) P_{k-1|k-1}} \right)_i \quad (i=1,\dots,n) \\ \mathcal{X}_{i+n} &= \hat{\mathbf }_{k-1|k-1} - \left( \sqrt{(n+\lambda) P_{k-1|k-1}} \right)_i \quad (i=1,\dots,n) \end{aligned} $$ **符号说明**： $ \sqrt{(n+\lambda) P} $：协方差矩阵的平方根（如Cholesky分解）。 $ \left( \sqrt{(n+\lambda) P} \right)_i $ 表示平方根矩阵的第 $ i $ 列。 $ \lambda = \alpha^2 (n + \kappa) - n $：缩放因子（$ \alpha $控制分布范围，通常取1e-3；$ \kappa $通常取0）。 为什么是 $ 2n+1 $ 个点？1个中心点 + $ 2n $个对称点，覆盖状态空间的主要方向。 示例： 假设状态 $ \mathbf = [x, y]^T $，$ n = 2 $，$ P = \begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $，$ \lambda = 0 $： 计算平方根矩阵（Cholesky分解）： $$ \sqrt{(n+\lambda) P} = \sqrt{2} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.828 & 0 \ 0 & 1.414 \end{bmatrix} $$ 生成 Sigma 点： $$ \begin{aligned} \mathcal{X}_0 &= \hat{\mathbf } \ \mathcal{X}_1 &= \hat{\mathbf } + [2.828, 0]^T = [\hat + 2.828, \hat{y}] \ \mathcal{X}_2 &= \hat{\mathbf } + [0, 1.414]^T = [\hat , \hat{y} + 1.414] \ \mathcal{X}_3 &= \hat{\mathbf } - [2.828, 0]^T = [\hat - 2.828, \hat{y}] \ \mathcal{X}_4 &= \hat{\mathbf } - [0, 1.414]^T = [\hat , \hat{y} - 1.414] \ \end{aligned} $$ Step 2: 计算Sigma点权重 目的：为每个Sigma点分配权重，用于后续计算均值和协方差。 公式： $$ \begin{aligned} W_0^{(m)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} \quad &\text{(中心点均值权重)} \\ W_0^{(c)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} + (1 - \alpha^2 + \beta) \quad &\text{(中心点协方差权重)} \\ W_i^{(m)} = W_i^{(c)} &= \frac{1}{2(n + \lambda)} \quad (i=1,\dots,2n) \quad &\text{(对称点权重)} \end{aligned} $$ **符号说明**： $ \beta $：高阶矩调节参数（高斯分布时取2最优）。 权重作用：中心点通常权重较大，对称点权重均等。 Step 3: 预测步骤（时间更新） 目的：将Sigma点通过非线性状态方程传播，计算预测状态和协方差。 子步骤： 传播Sigma点： $$ \mathcal{X}{i,k|k-1}^* = f(\mathcal{X}{i,k-1}, \mathbf{u}_{k-1}), \quad i=0,1,...,2n $$ （每个Sigma点独立通过 $ f(\cdot) $ 计算） 计算预测均值和协方差： $$ \hat{\mathbf }{k|k-1} = \sum{i=0}^{2n} W_i^{(m)} \mathcal{X}_{i,k|k-1}^* $$ $$ P_{k|k-1} = \sum_{i=0}^{2n} W_i^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,k|k-1}^* - \hat{\mathbf }{k|k-1} \right) \left( \mathcal{X}{i,k|k-1}^* - \hat{\mathbf }{k|k-1} \right)^T + Q_k $$ 符号说明： $\mathcal{X}_{k-1}$：上一时刻生成的Sigma点集合（$2n+1$个点） $\mathcal{X}_{k|k-1}^*$：通过状态方程传播后的Sigma点集合 $ Q_k $：过程噪声（表示模型不确定性）。 Step 4: 观测更新（测量更新） 目的：将预测的Sigma点通过观测方程传播，计算卡尔曼增益并更新状态。 子步骤： 生成观测Sigma点： $$ \mathcal{Z}{i,k|k-1} = h(\mathcal{X}{i,k|k-1}^*), \quad i=0,...,2n $$ 计算观测预测统计量： $$ \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} = \sum{i=0}^{2n} W_i^{(m)} \mathcal{Z}_{i,k|k-1} $$ $$ P_{z_k z_k} = \sum_{i=0}^{2n} W_i^{(c)} \left( \mathcal{Z}{i,k|k-1} - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,k|k-1} - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} \right)^T + R_k $$ $$ P_{x_k z_k} = \sum_{i=0}^{2n} W_i^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,k|k-1}^* - \hat{\mathbf }{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,k|k-1} - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} \right)^T $$ 符号说明： $ P_{z_k z_k} $：观测自协方差（含噪声 $ R_k $）。 $ P_{x_k z_k} $：状态-观测互协方差。 计算卡尔曼增益和更新状态： $$ K_k = P_{x_k z_k} P_{z_k z_k}^{-1} $$ $$ \hat{\mathbf }{k|k} = \hat{\mathbf }{k|k-1} + K_k (\mathbf{z}k - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1}) $$ $$ P_{k|k} = P_{k|k-1} - K_k P_{z_k z_k} K_k^T $$
科研
zy123
3月21日
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2025-03-21
数学基础
数学基础 求解一阶非齐线性微分方程 考虑方程 $$ y' + y = x $$ 第一步：求齐次方程的通解 先求对应的齐次方程 $$ y' + y = 0 $$ 其解为 $$ y_h = Ce^{-x} $$ 其中 $C$ 为任意常数。 第二步：设特解形式 利用常数变易法，令特解取形式 $$ y_p = u(x) e^{-x} $$ 其中 $u(x)$ 为待定函数。 第三步：求导并代入原方程 计算 $y_p$ 的导数： $$ y_p' = u'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x} $$ 将 $y_p$ 和 $y_p'$ 代入原方程 $y' + y = x$： $$ \bigl[u'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x}\bigr] + u(x)e^{-x} = u'(x)e^{-x} = x $$ 因此有： $$ u'(x) = x e^ $$ 第四步：求 $u(x)$ 对 $u'(x)$ 积分： $$ u(x) = \int x e^ dx $$ 计算积分，可以用分部积分法：令 $$ \begin{cases} u = x, \quad dv = e^x dx,\\[1mm] du = dx, \quad v = e^x, \end{cases} $$ 得： $$ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1 = e^x (x-1) + C_1 $$ 注意这里求得的常数 $C_1$可以忽略，因为它会与齐次解合并。故我们取 $$ u(x) = e^x (x-1) $$ 第五步：构造特解并给出通解 将 $u(x)$ 带回特解形式： $$ y_p = u(x)e^{-x} = e^x (x-1) e^{-x} = x-1 $$ 因此，原方程的通解为齐次解与特解的和： $$ y = y_h + y_p = Ce^{-x} + (x-1) $$ 梯度下降 我们可以用一个简单的线性层作为例子，展示如何利用向量和矩阵计算梯度并更新参数。假设有一个全连接层，其计算公式为 $$ y = W x + b $$ 其中 $x \in \mathbb{R}^2$ 是输入向量 $W \in \mathbb{R}^{2\times2}$ 是权重矩阵 $b \in \mathbb{R}^2$ 是偏置向量 $y \in \mathbb{R}^2$ 是输出向量 我们使用均方误差（MSE）作为损失函数，定义为 $$ L = \frac{1}{2} \|y - y_{\text{true}}\|^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2}(y_i - y_{\text{true}, i})^2 $$ 设定具体数值 输入向量： $$ x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ 权重矩阵： $$ W = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ 偏置向量： $$ b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 真实输出： $$ y_{\text{true}} = \begin{pmatrix} 7 \\ 13 \end{pmatrix} $$ 步骤 1：前向传播 计算输出 $y$： $$ y = W x + b = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 首先计算矩阵乘法： $$ W x = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 \\ 3\cdot1 + 4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 \\ 3+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} $$ 再加上偏置 $b$ 得到 $$ y = \begin{pmatrix} 5+1 \\ 11+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix} $$ 计算损失 $L$： $$ L = \frac{1}{2} \left[(6-7)^2 + (12-13)^2\right] = \frac{1}{2} \left[(-1)^2 + (-1)^2\right] = \frac{1}{2} (1+1) = 1 $$ 步骤 2：反向传播，计算梯度 首先，我们定义误差向量为 $$ e = y - y_{\text{true}} = \begin{pmatrix} 6-7 \\ 12-13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ 由于损失函数 $$ L = \frac{1}{2}\|y - y_{\text{true}}\|^2 $$ 对 $y$ 的偏导数为 $$ \frac{\partial L}{\partial y} = y - y_{\text{true}} = e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ 接下来，我们利用链式法则将梯度传递到 $W$ 和 $b$。 1. 梯度对 $W$ 的求导 对于输出层有 $$ y = W x + b $$ 每个元素 $y_i$ 对 $W_{ij}$ 的偏导数为 $$ \frac{\partial y_i}{\partial W_{ij}} = x_j $$ 利用链式法则，损失对 $W_{ij}$ 的梯度为 $$ \frac{\partial L}{\partial W_{ij}} = \frac{\partial L}{\partial y_i} \cdot \frac{\partial y_i}{\partial W_{ij}} = e_i \, x_j $$ 用矩阵形式写就是： $$ \frac{\partial L}{\partial W} = e \cdot x^\top $$ 将数值代入： $$ e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad x^\top = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} $$ 所以， $$ \frac{\partial L}{\partial W} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot1 & -1\cdot2 \\ -1\cdot1 & -1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} $$ 2.梯度对 $b$ 的求导 由于 $y = W x + b$，且对 $b$ 的偏导数为 1， $$ \frac{\partial L}{\partial b} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial b} = e \cdot 1 = e = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ 步骤 3：使用梯度下降更新参数 设定学习率 $\eta = 0.1$，更新公式为 $$ W_{\text{new}} = W - \eta \frac{\partial L}{\partial W}, \quad b_{\text{new}} = b - \eta \frac{\partial L}{\partial b} $$ 更新 $W$ $$ W_{\text{new}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 0.1 \cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0.1 & 2 + 0.2 \\ 3 + 0.1 & 4 + 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 & 2.2 \\ 3.1 & 4.2 \end{pmatrix} $$ 更新 $b$ $$ b_{\text{new}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 0.1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0.1 \\ 1 + 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1 \\ 1.1 \end{pmatrix} $$ 总结 在这个例子中，我们展示了如何用向量和矩阵的形式计算一个简单全连接层的前向传播、损失以及对参数 $W$ 和 $b$ 的梯度。关键步骤如下： 前向传播：计算 $y = W x + b$ 得到输出，再计算损失 $L = \frac{1}{2}|y - y_{\text{true}}|^2$ 反向传播： 计算误差向量 $e = y - y_{\text{true}}$ 利用链式法则得出梯度： $\frac{\partial L}{\partial W} = e \cdot x^\top$ $\frac{\partial L}{\partial b} = e$ 参数更新：通过梯度下降将参数沿负梯度方向调整 这样，我们就得到了更新后的参数 $W_{\text{new}}$ 和 $b_{\text{new}}$。这种向量或矩阵形式的梯度计算方法在真实神经网络中是普遍应用的，能够有效处理高维数据和大规模参数。 期望、方差、协方差 期望 $$ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i) $$ 其中： $x_i$ 是随机变量$X$ 的取值， $P(x_i)$ 是 $x_i$ 发生的概率。 性质 线性性： $$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $$ 独立变量： $$ E(XY) = E(X)E(Y) \quad (\text{当}X,Y\text{独立时}) $$ 常数处理： $$ E(c) = c $$ 方差 标准差 $$ \sigma =\sqrt{\frac{\textstyle\sum_{i=1}^{n}{( _{i}-\overline )}^{2}}{n}} $$ 方差 它是一个标量，表示一个单一随机变量的变动程度。 $$ Var(X)=\mathrm{E}[{(X-\mu) }^{2}]= {\sigma}^{2} $$ 性质 $$ Var(X)=\mathrm{E}({X}^{2})-{[\mathrm{E}(X)]}^{2} \\ Var(kX)={k}^{2}Var(X) $$ 若X和Y是独立的随机变量 $$ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) $$ 协方差 给定两个随机变量 $X$ 和 $Y$，其协方差计算公式为： $$ \text{Cov}(X,Y) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu_X)(y_i - \mu_Y) $$ 其中： $x_i, y_i$ 为观测值 $\mu_X, \mu_Y$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的样本均值 直观理解：如果有$X$,$Y$两个变量，$X$增大，$Y$也倾向于增大，$Cov(X,Y)>0$,正相关；$X$增加，$Y$倾向于减小->负相关;否则不相关。 推广：概率分布中的协方差 $\text{Cov}(X,Y) =\sum_{i=1}^n {p}{i}( {i}-{\mu }{\mathrm{X}})({\mathcal{y}}{i}-{\mu }_{Y})=E\left[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\right]$ 性质 对称性 $$ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X) $$ 协方差的计算与变量顺序无关 线性性 $$ \text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \cdot \text{Cov}(X, Y) $$ 零自协方差 $$ \text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X) $$ 分解性 $$ \text{Cov}(X_1 + X_2, Y) = \text{Cov}(X_1, Y) + \text{Cov}(X_2, Y) $$ 标量倍数 $$ \text{Cov}(aX, bY) = ab \cdot \text{Cov}(X, Y) $$ $\text{cov}(AX, AX) = A\text{cov}(X, X)A^T$ 推导： (1) 展开协方差定义 $$ \text{cov}(AX, AX) = \mathbb{E}[(AX - \mathbb{E}[AX])(AX - \mathbb{E}[AX])^T] $$ (2) 线性期望性质 $$ \mathbb{E}[AX] = A\mathbb{E}[X] \\ \Rightarrow AX - \mathbb{E}[AX] = A(X - \mathbb{E}[X]) $$ (3) 代入展开式 $$ = \mathbb{E}[A(X - \mathbb{E}[X])(A(X - \mathbb{E}[X]))^T] \\ = \mathbb{E}[A(X - \mathbb{E}[X])(X - \mathbb{E}[X])^T A^T] $$ (4) 提取常数矩阵 $$ = A \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(X - \mathbb{E}[X])^T] A^T $$ (5) 协方差矩阵表示 $$ = A \text{cov}(X, X) A^T $$ 协方差矩阵 对于一个随机向量 $\mathbf{X} = [X_1, X_2, \dots, X_n]^T$，其中 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是 $n$ 个随机变量，协方差矩阵 $\Sigma$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其元素表示不同随机变量之间的协方差。 （注意：每对变量指的是$\mathbf{X}$中任意两个分量之间的组合，如$X_1, X_2$） 协方差矩阵的元素是通过计算每对随机变量之间的协方差来获得的。协方差矩阵 $\Sigma$ 的元素可以表示为： $$ \Sigma = \begin{bmatrix} \text{Cov}(X_1, X_1) & \text{Cov}(X_1, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_1, X_n) \\ \text{Cov}(X_2, X_1) & \text{Cov}(X_2, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_2, X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \text{Cov}(X_n, X_1) & \text{Cov}(X_n, X_2) & \dots & \text{Cov}(X_n, X_n) \\ \end{bmatrix} $$ 其中： 对角线上的元素 $\text{Cov}(X_i, X_i)$ 是每个变量的方差，即 $\text{Var}(X_i)$。 非对角线上的元素 $\text{Cov}(X_i, X_j)$ 是变量 $X_i$ 和 $X_j$ 之间的协方差。 计算举例 假设我们有 3 个特征（$n=3$）和 4 个样本（$m=4$），则数据矩阵 $X$ 的构造如下： $$ X = \begin{bmatrix} x_1^{(1)} & x_1^{(2)} & x_1^{(3)} & x_1^{(4)} \\ x_2^{(1)} & x_2^{(2)} & x_2^{(3)} & x_2^{(4)} \\ x_3^{(1)} & x_3^{(2)} & x_3^{(3)} & x_3^{(4)} \end{bmatrix} $$ 假设特征为： 第1行 $x_1$：身高（cm） 第2行 $x_2$：体重（kg） 第3行 $x_3$：年龄（岁） 对应4个样本（人）的数据： $$ X = \begin{bmatrix} 170 & 165 & 180 & 155 \\ 65 & 55 & 75 & 50 \\ 30 & 25 & 40 & 20 \end{bmatrix} $$ 中心化数据（每行减去均值）： 计算每行均值： $$ \mu_1 = \frac{170+165+180+155}{4} = 167.5, \quad \mu_2 = 61.25, \quad \mu_3 = 28.75 $$ 中心化后的矩阵 $X_c$： $$ X_c = \begin{bmatrix} 2.5 & -2.5 & 12.5 & -12.5 \ 3.75 & -6.25 & 13.75 & -11.25 \ 1.25 & -3.75 & 11.25 & -8.75 \end{bmatrix} $$ 计算协方差矩阵： $$ \text{Cov} = \frac{1}{m} X_c X_c^T = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2.5 & -2.5 & 12.5 & -12.5 \ 3.75 & -6.25 & 13.75 & -11.25 \ 1.25 & -3.75 & 11.25 & -8.75 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.5 & 3.75 & 1.25 \ -2.5 & -6.25 & -3.75 \ 12.5 & 13.75 & 11.25 \ -12.5 & -11.25 & -8.75 \end{bmatrix} $$ 最终结果（对称矩阵）： $$ \text{Cov} \approx \begin{bmatrix} 93.75 & 100.31 & 62.50 \ 100.31 & 120.31 & 75.00 \ 62.50 & 75.00 & 48.44 \end{bmatrix} $$ 对角线是各特征的方差（如身高的方差为93.75） 非对角线是协方差（如身高与体重的协方差为100.31） 如何生成均值为0，协方差为Q的噪声? 生成标准正态随机变量 $$ \mathbf{Z} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}) $$ 进行线性变换 $$ \mathbf{w}_k = \sqrt{\mathbf{Q}} \cdot \mathbf{Z} $$ 其中 $\sqrt{\mathbf{Q}}$ 是 $\mathbf{Q}$ 的矩阵平方根。 验证其协方差确实为Q： $$ \begin{aligned} \text{Cov}(\mathbf{w}_k) &= \mathbb{E}[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^T] \ &= \sqrt{\mathbf{Q}} \cdot \mathbb{E}[\mathbf{Z}\mathbf{Z}^T] \cdot \sqrt{\mathbf{Q}}^T \ &= \sqrt{\mathbf{Q}} \cdot \mathbf{I} \cdot \sqrt{\mathbf{Q}}^T \ &= \mathbf{Q} \end{aligned} $$ Python代码示例 import numpy as np # 定义协方差矩阵 Q = np.array([[0.1, 0.05], [0.05, 0.2]]) # Cholesky分解 L = np.linalg.cholesky(Q) # L @ L.T = Q # 生成标准正态随机数 Z = np.random.randn(2) # 生成目标噪声 w = L @ Z # 等价于 np.dot(L, Z) 概率密度函数 定义： 概率密度函数是描述连续型随机变量在某个取值点附近的可能性"密度"的函数。注意： PDF在某一点的值不是概率，而是概率的"密度"。 实际概率是通过对PDF在某个区间内积分得到的（比如 $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx$）。 PDF的全域积分必须等于1（即所有可能性的总和为100%）。 例子： 假设某人的每日通勤时间 $X$ 是一个连续随机变量，其PDF可能是一个钟形曲线（如正态分布）。PDF在 $x=30$ 分钟处的值 $f(30)$ 表示"30分钟附近"的概率密度，而 $P(25 \leq X \leq 35)=0.4$ 表示约有40%的概率通勤时间会落在这个区间。 指数分布 定义： 指数分布是一种常见的连续型概率分布，通常用于描述"事件间隔时间"或"无记忆性"的过程。比如： 客服电话的间隔时间。 灯泡的寿命。 地震发生的间隔时间。 概率密度函数（PDF）： 指数分布的PDF公式为： $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0) $$ 其中： $\lambda$ 是率参数（单位时间内事件发生的平均次数）。 $1/\lambda$ 是事件的平均间隔时间。 无记忆性：已经等待了时间 $t$，再等待额外时间 $s$ 的概率与从头开始等待 $s$ 的概率相同（即 $P(X > t+s \mid X > t) = P(X > s)$）。 例子： 假设某网站用户访问的间隔时间服从 $\lambda = 0.5$（平均每2分钟1次访问），则： PDF为 $f(x) = 0.5 e^{-0.5x}$。 用户在接下来1分钟内访问的概率是 $P(0 \leq X \leq 1) = \int_0^1 0.5 e^{-0.5x} dx \approx 0.393$。 高斯分布 高斯分布的概率密度函数： $$ \mathcal{f}(\mathcal )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \begin{pmatrix}-\frac{{(x-u)}^{2}}{2{\sigma }^{2}} \end{pmatrix} $$ x 在 μ-σ 和 μ+σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 68.2%； x 在 μ-2σ 和 μ+2σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 95.4%； x 在 μ-3σ 和 μ+3σ 之间的样本数量占到整个样本数量的99.6%； 数据融合 当前最优值=当前的先验估计值和观测值进行融合 我们通常会尝试最小化方差，以尽可能减小状态估计的不确定性，从而获得更可靠和准确的估计结果 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的定义 对于一个给定的时间域函数 ( f(t) )，其拉普拉斯变换 ( F(s) ) 定义为： $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) \, dt $$ 这里的 ( s ) 是一个复数，通常写作 $ s = \sigma + j\omega $，其中 $\sigma$ 和 $ \omega $ 分别是实部和虚部。 拉普拉斯变换的作用 简化微分方程：拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而简化求解过程。 系统分析：在控制理论中，拉普拉斯变换用来分析系统的稳定性和频率响应。 信号处理：在信号处理中，拉普拉斯变换帮助分析信号的频谱和系统的滤波特性。 例子：单一指数函数的拉普拉斯变换 假设有一个函数 $f(t) = e^{-at} $（其中 ( a ) 是一个正常数），我们想计算它的拉普拉斯变换。根据拉普拉斯变换的定义： $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-at} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} \, dt $$ 这个积分可以解为： $$ F(s) = \begin{bmatrix} \frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)} \end{bmatrix}_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+a} $$ 因为当 $ t \to \infty $ 时，$ e^{-(s+a)t} $ 趋向于 0，前提是 $ Re(s+a) > 0 $（即 $s $ 的实部加 $ a $ 必须是正的）。 拉普拉斯矩阵 拉普拉斯矩阵及其性质 对于一个无向图 $G = (V, E)$，其拉普拉斯矩阵 $L$ 通常定义为 $$ L = D - A, $$ 其中： $D$是度矩阵，一个对角矩阵，其对角元 ($d_i$) 为顶点 $i$ 的度数； $A$是邻接矩阵，反映了图中各顶点之间的连接关系。 示例： 考虑一个简单的无向图，该图包含三个顶点：1, 2, 3，以及两条边： - 边 (1, 2) - 边 (2, 3) 邻接矩阵 (A) $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 度矩阵 (D) $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 拉普拉斯矩阵 (L) 将上面两个矩阵相减得到 $$ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}. $$ 令常数向量 $$ \mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, $$ 则有 $$ L\mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ -1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 1 + 0 \\ -1 + 2 - 1 \\ 0 - 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ 这说明常数向量 $\mathbf{1}$ 是 $L$ 的零空间中的一个向量，即零特征值对应的特征向量。 主要性质 对称性 由于对于无向图，邻接矩阵 (A) 是对称的，而度矩阵 (D) 本身也是对称的（因为它是对角矩阵），所以拉普拉斯矩阵 $L$ 也是对称矩阵。 正半定性 对于任意实向量 $x$，都有： $$ x^T L x = \sum_{(i,j) \in E} (x_i - x_j)^2 \ge 0. $$ 这说明 $L$ 是正半定矩阵，即其所有特征值均非负。 零特征值与连通分量 对于任意图，都有 $$ L \mathbf{1} = \mathbf{0}, $$ 其中 $\mathbf{1} = (1, 1, \ldots, 1)^T$，因此 $0$ 一定是 $L$ 的一个特征值。 因为拉普拉斯矩阵的定义为 $L = D - A$，其中每一行的元素之和为零，所以当向量所有分量都相等时，每一行的加权求和自然等于零。 更进一步，零特征值的重数等于图的连通分量(独立的子图)个数。也就是说，如果图 $G$ 有 $k$ 个连通分量，则 $L$ 的零特征值重数为 $k$ 。 简单证明思路 考虑图中每个连通分量，对于某个连通分量内的所有顶点，可以构造一个特征向量，使得在该连通分量中所有分量取相同常数，而在其他部分取零。由于该连通分量内部的任意两个顶点都是连通的，该特征向量满足 $Lx = 0$。这样，对于每个连通分量都可以构造出一个线性无关的零特征值特征向量，从而零特征值的重数至少为连通分量的数量；进一步证明可以证明重数不会超过这个数量。 谱分解及应用 由于 $L$ 是对称正半定矩阵，其可以进行谱分解： $$ L = U \Lambda U^T, $$ 其中$U$ 是**正交矩阵**，$\Lambda$ 是包含 $L$ 所有非负特征值的**对角矩阵**。 这一性质使得拉普拉斯矩阵在谱聚类、图分割等应用中非常有用。 总结 拉普拉斯矩阵 $L = D - A$是描述图结构的重要工具，具有如下主要性质： 对称性：$L$是对称矩阵； 正半定性：任意向量 $x$ 有 $x^T L x \ge 0$； 零特征值：$L$ 总有零特征值，且其重数与图的连通分量个数相等； 谱分解：$L$ 可进行正交谱分解，广泛应用于图的聚类与分割等领域。 这些性质不仅在理论上非常重要，而且在图论和数据分析等实际问题中有广泛的应用。 平均拉普拉斯矩阵： 归一化拉普拉斯矩阵 为了在某些应用中（例如谱聚类、图卷积网络等）获得更好的数值性质和归一化效果，我们可以构造 对称归一化拉普拉斯矩阵，记为 $L_{sym}$，定义为 $$ L_{sym} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}, $$ 其中 $D^{-1/2}$ 表示度矩阵的逆平方根， $I$ 为单位矩阵。 $$ D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{pmatrix}. D^{-1/2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{3} & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}. $$ 主要特点 归一化： 通过 $D^{-1/2}$ 的两侧预处理，将不同顶点的度数影响消除，使得矩阵在谱分解时能更好地反映图的结构。 对称性： $L_{sym}$ 是对称矩阵，这意味着它可以进行正交谱分解，其特征值均为实数。 谱性质： $L_{sym}$ 的特征值都位于区间 $[0, 2]$ 内。这一性质对于很多图论算法的稳定性和收敛性分析都非常重要。 Fiedler向量 根据谱分解理论，$L$ 的特征值满足 $$ x 0 = \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n. $$ 其中，$\lambda_1 = 0$ 对应的特征向量通常为所有分量相同的常数向量。而 **Fiedler 向量** 就是对应于 $\lambda_2$ (第二小的特征值)的特征向量。 图的谱划分 构建图的拉普拉斯矩阵 根据给定的图结构,构建图的拉普拉斯矩阵 $L$。 计算 Fiedler 向量 求解拉普拉斯矩阵 $L$ 的第二小特征值对应的特征向量,即 Fiedler 向量。 根据 Fiedler 向量进行图划分 将 Fiedler 向量的元素按大小排序。 找到 Fiedler 向量元素值为 0 附近的分界点,将图划分为两个子图。 Fiedler 向量在连接紧密的顶点上的取值往往比较接近 $$ Fiedler 向量 :xv = \begin{pmatrix}0.8 \\0.7 \\0.6 \\-0.5 \\-0.6 \\-0.7\end{pmatrix}. $$ 正值部分：对应顶点 1, 2, 3； 负值部分：对应顶点 4, 5, 6。 经过这种划分后，通常会发现： 子图内部：顶点之间的连接较为紧密（边较多）， 子图之间：连接较弱（边较少或只有一两条边）。 递归划分子图（可选） 对划分得到的两个子图,分别递归应用上述步骤(1-3步),进一步将其划分为更小的子图。 这样可以将原图层层划分为多个子图。 确定最终聚类结果 根据上述划分过程得到的多个子图,就对应了图的最终聚类结果。 每个子图内的节点被认为属于同一个聚类。 谱聚类 谱聚类的基本思想是通过图的特征向量将数据点映射到低维空间中，然后在这个低维空间中使用传统的聚类技术。 1.构造相似性图 数据表示： 给定数据点 ${x_1, x_2, \ldots, x_n}$。 相似性矩阵 $W$： 根据数据点之间的距离或相似性构造矩阵 $W$。常见方法包括： Gaussian 核函数： $$ W_{ij} = \exp\Bigl(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\Bigr), $$ 只有当 $x_i$ 与 $x_j$ 彼此接近时， $W_{ij}$ 才较大；衡量数据点之间的距离并将其映射为一个 [0, 1] 之间的相似性值。 其中 $\sigma$ 为尺度参数，当 $\sigma$ 较小时，只有非常接近的数据点才会被认为是相似的 K近邻图：仅连接每个点与其 $k$ 个最近邻之间的边，其余 $W_{ij} = 0$。 2.构造图拉普拉斯矩阵 - 对称归一化拉普拉斯矩阵 - 未归一化的拉普拉斯矩阵 3.计算特征向量 对选定的拉普拉斯矩阵（例如 $L_{sym}$）进行特征分解，求出前 $k$ 个最小特征值对应的特征向量。 注意：对于未归一化的拉普拉斯矩阵，零特征值对应的特征向量通常是常数向量，所以在分解时忽略这个解，选择第二小开始的 $k$ 个特征向量。 4.构造嵌入空间 形成矩阵 $U$： 将求得的 $k$ 个特征向量作为列组成矩阵 $$ U = \begin{pmatrix} u_1(1) & u_2(1) & \cdots & u_k(1) \\ u_1(2) & u_2(2) & \cdots & u_k(2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_1(n) & u_2(n) & \cdots & u_k(n) \end{pmatrix}. $$ 其中，每一行对应原数据点在低维空间中的表示。 归一化（可选）： 对于对称归一化的情况，可以对 $U$ 的每一行做归一化处理，使得每一行变为单位向量，这一步有助于后续聚类的稳定性。 5.聚类 使用 k-means 等传统聚类算法： 在低维嵌入空间中，每一行表示一个数据点的低维表示，然后对这些点进行聚类。 得到每个数据点对应的簇标签。 谱聚类示例（6个数据点分成3类） 假设数据点为 $$ x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=5,\quad x_4=6,\quad x_5=10,\quad x_6=11. $$ 直观上我们希望将它们分为3类： 类1：靠近 1、2 类2：靠近 5、6 类3：靠近 10、11 1. 构造相似性矩阵 $W$ 采用 Gaussian 核函数 $$ W_{ij}=\exp\Bigl(-\frac{(x_i-x_j)^2}{2\sigma^2}\Bigr). $$ 取 $\sigma=2$（参数可调），则分母为 $2\sigma^2=8$。 计算部分相似性（近似值）： $x_1,x_2: ; |1-2|^2=1,\quad W_{12}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$ $x_1,x_3: ; |1-5|^2=16,\quad W_{13}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$ $x_1,x_4: ; |1-6|^2=25,\quad W_{14}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$ $x_1,x_5: ; |1-10|^2=81,\quad W_{15}=\exp(-81/8)\approx0.00004.$ $x_1,x_6: ; |1-11|^2=100,\quad W_{16}=\exp(-100/8)\approx0.00001.$ $x_2,x_3: ; |2-5|^2=9,\quad W_{23}=\exp(-9/8)\approx0.3247.$ $x_2,x_4: ; |2-6|^2=16,\quad W_{24}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$ $x_2,x_5: ; |2-10|^2=64,\quad W_{25}=\exp(-64/8)=\exp(-8)\approx0.000335.$ $x_2,x_6: ; |2-11|^2=81,\quad W_{26}=\exp(-81/8)\approx0.00004.$ $x_3,x_4: ; |5-6|^2=1,\quad W_{34}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$ $x_3,x_5: ; |5-10|^2=25,\quad W_{35}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$ $x_3,x_6: ; |5-11|^2=36,\quad W_{36}=\exp(-36/8)=\exp(-4.5)\approx0.0111.$ $x_4,x_5: ; |6-10|^2=16,\quad W_{45}=\exp(-16/8)=\exp(-2)\approx0.1353.$ $x_4,x_6: ; |6-11|^2=25,\quad W_{46}=\exp(-25/8)\approx0.0439.$ $x_5,x_6: ; |10-11|^2=1,\quad W_{56}=\exp(-1/8)\approx0.8825.$ 由于 $W$ 是对称矩阵，对角元一般取 0（或1，根据需求），我们构造相似性矩阵 $W$ 为 $$ W=\begin{pmatrix} 0 & 0.8825 & 0.1353 & 0.0439 & 0.00004 & 0.00001 \\ 0.8825 & 0 & 0.3247 & 0.1353 & 0.000335& 0.00004 \\ 0.1353 & 0.3247 & 0 & 0.8825 & 0.0439 & 0.0111 \\ 0.0439 & 0.1353 & 0.8825 & 0 & 0.1353 & 0.0439 \\ 0.00004& 0.000335&0.0439 & 0.1353 & 0 & 0.8825 \\ 0.00001& 0.00004 & 0.0111 & 0.0439 & 0.8825 & 0 \end{pmatrix}. $$ 构造度矩阵 $D$ $$ D_{ii}=\sum_{j=1}^6 W_{ij}. $$ 近似计算： 对于 $x_1$： $D_{11}\approx0.8825+0.1353+0.0439+0.00004+0.00001\approx1.0617.$ 对于 $x_2$： $D_{22}\approx0.8825+0.3247+0.1353+0.000335+0.00004\approx1.3429.$ 对于 $x_3$： $D_{33}\approx0.1353+0.3247+0.8825+0.0439+0.0111\approx1.3975.$ 对于 $x_4$： $D_{44}\approx0.0439+0.1353+0.8825+0.1353+0.0439\approx1.241.$ 对于 $x_5$： $D_{55}\approx0.00004+0.000335+0.0439+0.1353+0.8825\approx1.0617.$ 对于 $x_6$： $D_{66}\approx0.00001+0.00004+0.0111+0.0439+0.8825\approx0.9375.$ 构造度矩阵： $$ D=\begin{pmatrix} 1.0617 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[0.5em] 0 & 1.3429 & 0 & 0 & 0 & 0\\[0.5em] 0 & 0 & 1.3975 & 0 & 0 & 0\\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 1.2410 & 0 & 0\\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 & 1.0617 & 0\\[0.5em] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.9375 \end{pmatrix}. $$ 3. 构造拉普拉斯矩阵 $L$ 未归一化拉普拉斯矩阵定义为 $$ L = D - W. $$ 例如，矩阵的第 1 行为： $$ L_{1\cdot}=(1.0617,\ -0.8825,\ -0.1353,\ -0.0439,\ -0.00004,\ -0.00001), $$ 其它行类似。 4. 特征分解与构造低维嵌入 为了分成 3 类，通常我们取图拉普拉斯矩阵（或归一化拉普拉斯矩阵）的前 $k=3$ 个最小特征值对应的特征向量。 （注意：对于未归一化拉普拉斯矩阵，第一个特征值为 0，对应常数向量；但在归一化方法中，所有 3 个特征向量通常都有实际意义。） 假设经过特征分解后，我们得到了三个特征向量 $$ u_1,\; u_2,\; u_3, $$ 每个都是 6 维向量。将它们按列排列构成矩阵 $$ U=\begin{pmatrix} u_1(1) & u_2(1) & u_3(1) \\[0.3em] u_1(2) & u_2(2) & u_3(2) \\[0.3em] u_1(3) & u_2(3) & u_3(3) \\[0.3em] u_1(4) & u_2(4) & u_3(4) \\[0.3em] u_1(5) & u_2(5) & u_3(5) \\[0.3em] u_1(6) & u_2(6) & u_3(6) \end{pmatrix}. $$ 每一行 $i$ 表示数据点 $x_i$ 在 3 维低维嵌入空间中的表示。 假设得到的低维表示（示例数值）： $x_1: ; (0.9,\ 0.2,\ 0.1)$ $x_2: ; (0.8,\ 0.3,\ 0.2)$ $x_3: ; (-0.1,\ 0.8,\ 0.1)$ $x_4: ; (-0.2,\ 0.7,\ 0.0)$ $x_5: ; (0.1,\ -0.2,\ 0.9)$ $x_6: ; (0.0,\ -0.1,\ 1.0)$ 5. 在低维空间上使用 k-means 聚类 利用 k-means 算法对 6 个数据点的 3 维向量进行聚类。 在本例中，k-means 会尝试将点分为 3 类。 根据上述低维表示，很容易看到： 数据点 $x_1$ 和 $x_2$ 聚在一起； 数据点 $x_3$ 和 $x_4$ 聚在一起； 数据点 $x_5$ 和 $x_6$ 聚在一起。 最终得到的聚类结果： 类1：${x_1, x_2}$ 类2：${x_3, x_4}$ 类3：${x_5, x_6}$ 谱分解与网络重构 一个对称矩阵可以通过其特征值和特征向量进行分解。对于一个 $n \times n$ 的对称矩阵 $A$，其谱分解可以表示为： $$ A = Q \Lambda Q^T \\ A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T $$ 其中，$\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。 推导过程 特征值和特征向量的定义 对于一个对称矩阵 $A$，其特征值和特征向量满足： $$ A x_i = \lambda_i x_i $$ 其中，$\lambda_i$ 是特征值，$x_i$ 是对应的特征向量。 谱分解 将这些特征向量组成一个正交矩阵 $Q$ $A = Q \Lambda Q^T$ $$ Q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}, $$ $$ Q \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix}. $$ $$ Q \Lambda Q^T = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{bmatrix}. $$ $$ Q \Lambda Q^T = \lambda_1 x_1 x_1^T + \lambda_2 x_2 x_2^T + \cdots + \lambda_n x_n x_n^T. $$ 可以写为 $$ A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T. $$ 网络重构 在随机网络中，网络的邻接矩阵 $A$ 通常是对称的。利用预测算法得到的谱参数 ${\lambda_i, x_i}$ 后，就可以用以下公式重构网络矩阵： $$ A(G) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i x_i^T $$ 幂迭代 幂迭代方法是一种常用的数值迭代算法，主要用于计算矩阵的主特征值（即具有最大模长的特征值）及其对应的特征向量。 收敛原理 在多数实际问题中，矩阵的特征值中存在一个绝对值最大的特征值。根据线性代数理论： 任取一个非零初始向量（且在主特征向量方向上的分量不为0） 通过不断与矩阵相乘并归一化，该向量会逐渐趋近于主特征向量方向 其他较小特征值对应的分量会被逐渐"削弱" 算法步骤 选取初始向量 选择非零初始向量 $$x^{(0)}$$ 迭代更新 每次迭代计算： $$ x^{(k+1)} = A x^{(k)} $$ 并进行二范数归一化以保持数值稳定性 收敛判断 当相邻迭代向量足够接近时停止，此时： 归一化向量 ≈ 主特征向量 特征值估计（瑞利商（Rayleigh Quotient））： $$ \lambda^{(k)} = \frac{(x^{(k)})^T A x^{(k)}}{(x^{(k)})^T x^{(k)}} $$ 瑞利商（Rayleigh Quotient）推导： 假设 $x$ 是 $A$ 的一个近似特征向量（比如幂迭代法得到的 $x^{(k)}$），我们希望找到一个标量 $\lambda$ 使得 $A x \approx \lambda x$。 为了找到最优的 $\lambda$，可以最小化残差 $| A x - \lambda x |^2$： $$ \| A x - \lambda x \|^2 = (A x - \lambda x)^T (A x - \lambda x) $$ 展开后： $$ = x^T A^T A x - 2 \lambda x^T A x + \lambda^2 x^T x $$ 对 $\lambda$ 求导并令导数为零： $$ \frac{d}{d\lambda} \| A x - \lambda x \|^2 = -2 x^T A x + 2 \lambda x^T x = 0 $$ 解得： $$ \lambda = \frac{x^T A x}{x^T x} $$ 这就是 **瑞利商** 的表达式： $$ \lambda^{(k)} = \frac{(x^{(k)})^T A x^{(k)}}{(x^{(k)})^T x^{(k)}} $$
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zy123
3月21日
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