李振河 陈茂森

图神经网络

图表示学习的本质是把节点映射成低维连续稠密的向量。这些向量通常被称为 嵌入（Embedding），它们能够捕捉节点在图中的结构信息和属性信息，从而用于下游任务（如节点分类、链接预测、图分类等）。

• 低维：将高维的原始数据（如邻接矩阵或节点特征）压缩为低维向量，减少计算和存储开销。
• 连续：将离散的节点或图结构映射为连续的向量空间，便于数学运算和捕捉相似性。
• 稠密：将稀疏的原始数据转换为稠密的向量，每个维度都包含有意义的信息。

对图数据进行深度学习的“朴素做法”

把图的邻接矩阵和节点特征“直接拼接”成固定维度的输入，然后将其送入一个深度神经网络（全连接层）进行学习。

这种做法面临重大问题，导致其并不可行：

1. $O(|V|^2)$ 参数量 ，参数量庞大

2. 无法适应不同大小的图 ，需要固定输入维度

3. 对节点顺序敏感 ，节点编号顺序一变，输入就完全变样，但其实图的拓扑并没变（仅节点编号/排列方式不同）。

      A —— B
      |     |
      D —— C
   

   矩阵 1（顺序 $[A,B,C,D]$）： $$ M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\ 1 & 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 0 & 1\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 矩阵 2（顺序 $[C,A,D,B]$）： $$ M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

​ 两个矩阵完全不同，但它们对应的图是相同的（只不过节点的顺序改了）。

计算图

在图神经网络里，通常每个节点$v$ 都有一个局部计算图，用来表示该节点在聚合信息时所需的所有邻居（及邻居的邻居……）的依赖关系。

直观理解

• 以节点 $v$ 为根；
• 1-hop 邻居在第一层，2-hop 邻居在第二层……
• 逐层展开直到一定深度（例如 k 层）。
• 这样形成一棵“邻域树”或“展开图”，其中每个节点都需要从其子节点（邻居）获取特征进行聚合。

例子

在图神经网络中，每一层的计算通常包括以下步骤：

1. 聚合（Aggregation）：将邻居节点的特征聚合起来（如求和、均值、最大值等）。
2. 变换（Transformation）：将聚合后的特征通过一个神经网络（如 MLP）进行非线性变换。

      A
      |
      B
    /   \
   C     D

假设每个节点的特征是一个二维向量：

• 节点 $ A $ 的特征：$ h_A = [1.0, 0.5] $
• 节点 $ B $ 的特征：$ h_B = [0.8, 1.2] $
• 节点 $ C $ 的特征：$ h_C = [0.3, 0.7] $
• 节点 $ D $ 的特征：$ h_D = [1.5, 0.9] $

第 1 层更新：$A^{(0)} \to A^{(1)}$

1. 节点 $A$ 的 1-hop 邻居：只有 $B$。

2. 聚合（示例：自+邻居取平均）： $$ z_A^{(1)} = \frac{A^{(0)} + B^{(0)}}{2} = \frac{[1.0,,0.5] + [0.8,,1.2]}{2} = \frac{[1.8,,1.7]}{2} = [0.9,,0.85]. $$

3. MLP 变换：用一个MLP映射 $z_A^{(1)}$ 到 2 维输出： $$ A^{(1)} ;=; \mathrm{MLP_1}\bigl(z_A^{(1)}\bigr). $$

   • （数值略，可想象 $\mathrm{MLP}([0.9,0.85]) \approx [1.0,0.6]$ 之类。）

结果：$A^{(1)}$ 包含了 A 的初始特征 + B 的初始特征信息。

第 2 层更新：$A^{(1)} \to A^{(2)}$

为了让 A 获得 2-hop 范围（$C, D$）的信息，需要先让 $B$ 在第 1 层就吸收了 $C, D$ 的特征，从而 $B^{(1)}$ 蕴含 $C, D$ 信息。然后 A 在第 2 层再从 $B^{(1)}$ 聚合。

1. 节点 B 在第 1 层（简要说明）

   • 邻居：${A,C,D}$
   • 聚合：$z_B^{(1)} = \frac{B^{(0)} + A^{(0)} + C^{(0)} + D^{(0)}}{4} = \frac{[0.8,,1.2] + [1.0,,0.5] + [0.3,,0.7] + [1.5,,0.9]}{4} = \frac{[3.6,,3.3]}{4} = [0.9,,0.825].$
   • MLP 变换：$B^{(1)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_B^{(1)}\bigr)$。
   • 此时 $B^{(1)}$ 已经包含了 $C, D$ 的信息。

2. 节点 $A$ 的第 2 层聚合

   • 邻居：$B$，但此时要用 $B^{(1)}$（它已吸收 C、D）

   • 聚合： $$ z_A^{(2)} = A^{(1)} + B^{(1)}. $$

   • MLP 变换： $$ A^{(2)} = \mathrm{MLP_2}\bigl(z_A^{(2)}\bigr). $$

结果：$A^{(2)}$ 就包含了 2-hop 范围的信息，因为 $B^{(1)}$ 中有 $C, D$ 的贡献。

GNN 的层数就是节点聚合邻居信息的迭代次数（也是计算图的层数）。

同一层里，所有节点共享一组参数（同一个 MLP 或全连接神经网络）

矩阵运算

$\tilde D^{-1},\tilde A,\tilde D^{-1}H$

$H'=\tilde D^{-1},\tilde A,H$

   A
   |
   B
 /   \
C     D

1.构造矩阵

含自环邻接矩阵 $\tilde A=A+I$

求和： $\tilde A,H$

GCN

在 GCN 里，归一化（normalization）的核心目的就是 平衡不同节点在信息传播（message‑passing）中的影响力，避免「高连通度节点（high‑degree nodes）」主导了所有邻居的特征聚合。

$H' = \tilde D^{-1},\tilde A,\tilde D^{-1}H$

• 对节点 $i$ 来说：

• 先用源节点 $j$ 的度 $d_j$ 缩小它的特征贡献，再用目标节点 $i$ 的度 $d_i$ 归一化总和。

GCN中实际的公式：

其中：

• $H^{(l)}$ 是第 $l$ 层的输入特征（对第 $0$ 层来说就是节点的初始特征），
• $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的可训练权重矩阵，相当于一个简单的线性变换（类似于 MLP 中的全连接层），
• $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数（例如 ReLU），
• $\tilde{A}$ 是包含自连接的邻接矩阵，
• $\tilde{D}$ 是 $\tilde{A}$ 的度矩阵。

$\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$的优势

1.对称归一化：$\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 是一个对称矩阵，这意味着信息在节点之间的传播是双向一致的。这种对称性特别适合无向图，因为无向图的邻接矩阵 $\tilde A$ 本身就是对称的。

2.适度抑制高连通度节点：对称平方根归一化通过 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 对源节点和目标节点同时进行归一化，能够适度抑制高连通度节点的特征贡献，而不会过度削弱其影响力。

3.谱半径控制：对称平方根归一化后的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 的谱半径（最大特征值）被控制在 $[0, 1]$ 范围内，这有助于保证模型的数值稳定性。

4.归一化拉普拉斯矩阵：对称平方根归一化的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 与归一化拉普拉斯矩阵 $L = I - \tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 有直接联系。归一化拉普拉斯矩阵在图信号处理中具有重要的理论意义，能够更好地描述图的频谱特性。

GraphSAGE优化

GAT

图注意力网络（GAT）中最核心的运算：图注意力层。它的基本思想是：

1. 线性变换：先对每个节点的特征 $\mathbf{h}_i$ 乘上一个可学习的权重矩阵 $W$，得到变换后的特征 $W \mathbf{h}_i$。
2. 自注意力机制：通过一个可学习的函数 $a$，对节点 $i$ 和其邻居节点 $j$ 的特征进行计算，得到注意力系数 $e_{ij}$。这里会对邻居进行遮蔽（masked attention），即只计算图中有边连接的节点对。
3. 归一化：将注意力系数 $e_{ij}$ 通过 softmax 进行归一化，得到 $\alpha_{ij}$，表示节点 $j$ 对节点 $i$ 的重要性权重。
4. 聚合：最后利用注意力系数加权邻居节点的特征向量，并经过激活函数得到新的节点表示 $\mathbf{h}_i'$。
5. 多头注意力：为增强表示能力，可并行地执行多个独立的注意力头（multi-head attention），再将它们的结果进行拼接（或在最后一层进行平均），从而得到最终的节点表示。

注意力系数

1. 注意力系数（未归一化）

2. 注意力系数的 softmax 归一化

3. 具体的注意力计算形式（以单层前馈网络 + LeakyReLU 为例）

• 其中，$\mathbf{a}$ 为可学习的参数向量，$|$ 表示向量拼接（concatenation）。

示例假设：

• 节点特征：
  假设每个节点的特征向量维度为 $F=2$。
  $$ \mathbf{h}_i = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix},\quad \mathbf{h}_j = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix},\quad \mathbf{h}_k = \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix}. $$

• 线性变换矩阵 $W$：
  为了简化，我们令 $W$ 为单位矩阵（即 $W\mathbf{h} = \mathbf{h}$）。
  $$ W = \begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{bmatrix}. $$

• 可学习向量 $\mathbf{a}$：
  假设 $\mathbf{a}$ 为 4 维向量，设
  $$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix}1 \ 1 \ 1 \ 1\end{bmatrix}. $$

• 激活函数使用 LeakyReLU（负数斜率设为0.2，但本例中结果为正数，所以不变）。

计算步骤：

1. 计算 $W\mathbf{h}_i$、$W\mathbf{h}_j$ 和 $W\mathbf{h}_k$： $$ W\mathbf{h}_i = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix},\quad W\mathbf{h}_j = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}, \quad W\mathbf{h}_k = \begin{bmatrix}1 \ 1\end{bmatrix} $$

2. 构造拼接向量并计算未归一化的注意力系数 $e_{ij}$ 和 $e_{ik}$：

   • 对于邻居 $j$： $$ \bigl[W\mathbf{h}_i ,|, W\mathbf{h}_j\bigr] = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix}. $$

     内积计算： $$ \mathbf{a}^\top \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \ 1\end{bmatrix} = 1+0+0+1 = 2. $$

     经过 LeakyReLU（正数保持不变）： $$ e_{ij} = 2. $$

   • 对于邻居 $k$,同理得到：

     $$ e_{ik} = 3. $$

3. 计算 softmax 得到归一化注意力系数 $\alpha_{ij}$： $$ \alpha_{ij} = \frac{\exp(2)}{\exp(2)+\exp(3)} = \frac{e^2}{e^2+e^3}\approx 0.269. $$

   同理： $$ \alpha_{ik} = \frac{\exp(3)}{\exp(2)+\exp(3)} \approx 0.731. $$

特征聚合

单头注意力聚合（得到新的节点特征）

多头注意力(隐藏层时拼接)

每个头都有自己的一组可学习参数，并独立计算注意力系数和输出特征。以捕捉邻居节点的多种不同关系或特征。

如果有 $K$ 个独立的注意力头，每个头输出 $\mathbf{h}_i'^{(k)}$，则拼接后的输出为：

例假如：

在最终的输出层（例如分类层）通常会将多个头的结果做平均，而不是拼接：

直推式学习与归纳式学习

直推式学习（Transductive Learning） 模型直接在固定的训练图上学习节点的表示或标签，结果只能应用于这张图中的节点，无法直接推广到新的、未见过的节点或图。

例如：DeepWalk ，它通过对固定图的随机游走生成节点序列来学习节点嵌入，因此只能得到训练图中已有节点的表示，一旦遇到新节点，需要重新训练或进行特殊处理。

注意：GCN是直推式的，因为它依赖于整个图的归一化邻接矩阵进行卷积操作，需要在固定图上训练。

归纳式学习（Inductive Learning） 模型学习的是一个映射函数或规则，可以将这种规则推广到未见过的新节点或新图上。这种方法能够处理动态变化的图结构或新的数据。

例如：

图神经网络的变体（GAT）都是归纳式的，因为它们在聚合邻居信息时学习一个共享的函数，该函数能够应用于任意新节点。

• 局部计算：GAT 的注意力机制仅在每个节点的局部邻域内计算，不依赖于全局图结构。
• 参数共享：模型中每一层的参数（如 $W$ 和注意力参数 $\mathbf{a}$）是共享的，可以直接应用于新的、未见过的图。

泛化到新节点：在许多推荐系统中，如果有新用户加入（新节点），我们需要给他们做个性化推荐，这就要求系统能够在不重新训练整个模型的情况下，为新用户生成表示（Embedding），并且完成推荐预测。

泛化到新图： 分子图预测。我们会用一批训练分子（每个分子是一张图）来训练一个 GNN 模型，让它学会如何根据图结构与原子特征来预测分子的某些性质（如毒性、溶解度、活性等）。训练完成后，让它在新的分子上做预测。

GNN的优点：

参数共享

• 浅层嵌入(如Deepwalk)为每个节点单独学习一个向量，参数量随节点数线性增长。
• GNN 使用统一的消息传递/聚合函数，所有节点共享同一套模型参数，大幅减少参数量。

归纳式学习

• 浅层方法通常无法直接处理训练时未见过的新节点。
• GNN 能通过邻居特征和结构来生成新节点的表示，实现对新节点/新图的泛化。

利用节点特征

• 浅层方法多半只基于连接关系（图结构）。
• GNN 可以直接整合节点的属性（文本、图像特征等），生成更具语义信息的嵌入。

更强的表达能力

• GNN 通过多层聚合邻居信息，可学习到更丰富的高阶结构和特征交互，往往在多种任务上表现更优。