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2025-04-26
Mesa仿真
Mesa仿真 配置环境 requirements.txt mesa[rec] # 包含 networkx、matplotlib、ipywidgets、solara 等推荐依赖 jupyterlab numpy pandas Conda 命令行 # 1) 添加 conda-forge 通道并设为最高优先级 conda config --add channels conda-forge conda config --set channel_priority strict # 2) 创建并激活新环境（这里以 python 3.11 为例） conda create -n mesa-env python=3.11 -y conda activate mesa-env # 3a) 通过 pip 安装（使用上面的 requirements.txt） pip install -r requirements.txt # 或者 3b) 纯 Conda 安装等价包（推荐所有包都从 conda-forge） conda install \ mesa=3.1.5 networkx matplotlib ipywidgets solara \ numpy pandas jupyterlab \ -c conda-forge
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zy123
1天前
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2025-04-26
zy
如何确定kmeans的簇数？节点之间的流量，空间转为时间的图。 压缩感知 函数拟合 采样定理 傅里叶变换
科研
zy123
1天前
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2025-04-16
陈茂森论文
陈茂森论文 随机移动网络系统的稳定性 马尔科夫链与网络平均度推导 1.马尔科夫链的基本概念 马尔科夫链描述的是这样一种随机过程：系统在若干个可能的状态中变化，下一时刻所处状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关，这就是所谓的“无记忆性”或马尔科夫性。 无记忆性意味着，对于任何 $s, t \ge 0$， $$ P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t). $$ 假设你已经等待了 $s$ 分钟，那么再等待至少 $t$ 分钟的概率，和你一开始就等待至少 $t$ 分钟的概率完全相同。 在所有概率分布里，只有指数分布 $$ P(T>t) = e^{-\lambda t} $$ 具有这种“无记忆性”特征： $$ P(T>s+t \mid T>s) = \frac{P(T>s+t)}{P(T>s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(T>t). $$ 链路状态的马尔科夫模型 考虑网络中每条链路的动态行为，其状态空间为： 状态0：链路断开 状态1：链路连通 定义概率函数： $p_1(t)$：时刻 $t$ 处于连通状态的概率 $p_0(t) = 1 - p_1(t)$：断开概率 同时，我们假设链路从一个状态转移到另一个状态需要等待一段时间，这段等待时间通常服从指数分布（论文中通过 KS 检验确认）： 从断开（0）到连通（1）的等待时间 $T_{01} \sim \text{Exp}(\lambda_{01})$ 从连通（1）到断开（0）的等待时间 $T_{10} \sim \text{Exp}(\lambda_{10})$ 其中，$\lambda_{01}$ 和 $\lambda_{10}$ 为转移速率，表示单位时间内事件（转移）发生的平均次数 2.推导单条链路的连通概率 根据连续时间马尔科夫链的理论，我们可以写出状态转移的微分方程。对于状态1（连通状态），概率 $p_1(t)$ 的变化率由两个部分组成： 当链路处于状态0时，以速率 $\lambda_{01}$ 变为状态1。这部分概率增加的速率为 $$ \lambda_{01} , p_0(t)=\lambda_{01} (1-p_1(t)). $$ 当链路处于状态1时，以速率 $\lambda_{10}$ 转换为状态0。这部分使 $p_1(t)$ 减少，其速率为 $$ \lambda_{10} , p_1(t). $$ 所以，$p_1(t)$ 的微分方程写成： $$ \frac{d p_1(t)}{dt} = \lambda_{01} \, (1-p_1(t)) - \lambda_{10} \, p_1(t). $$ 这个方程可以整理为： $$ \frac{d p_1(t)}{dt} + (\lambda_{01}+\lambda_{10}) \, p_1(t) = \lambda_{01}. $$ 这其实是一个一阶线性微分方程，其标准求解方法是求解其齐次解与非齐次解。 3. 求解微分方程 整个微分方程的通解为： $$ p_1(t)= \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + C\, e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}. $$ 利用初始条件 $p_1(0)=p_1^0$（初始时刻链路连通的概率），我们可以求出 $C$： 即 $$ C = p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}. $$ 所以，链路在任意时刻 $t$ 连通的概率为： $$ p_1(t)= \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + \left( p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} \right)e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}. $$ 这就是单条链路的连通概率函数，描述了从任意初始条件出发，经过一段时间后，链路达到平衡状态的过程。 4.推导网络平均度的变化函数 在一个由 $N$ 个节点构成的网络中，每个节点都与其它节点进行通信（不考虑自环），因此每个节点最多有 $N-1$ 个邻居。对于任意一对节点 $i$ 和 $j$，它们之间链路连通的概率 $p_1(t)$（假设所有链路独立且同分布）。 某个节点 $i$ 在时刻 $t$ 的度 $d_i(t)$可以写作： $$ d_i(t)= \sum_{\substack{j=1 \ j\neq i}}^N p_{ij}(t), $$ 其中 $p_{ij}(t)=p_1(t)$。 因此，每个节点的期望度为： $$ E[d_i(t)]=(N-1)p_1(t). $$ 网络平均度就是对所有节点的期望度取平均，由于网络中每个节点都遵循相同统计规律，所以网络平均度可表示为： $$ \bar{d}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} E[d_i(t)] = \frac{N \cdot (N-1)p_1(t)}{N} = (N-1)p_1(t) $$ 将我们前面得到的 $p_1(t)$ 表达式代入，就得到网络平均度随时间变化的表达式： $$ \bar{d}(t)= (N-1)\left[ \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + \left( p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} \right)e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}\right]. $$ 这就是网络平均度的变化函数： 网络开始时每条链路的连通概率为 $p_1^0$ 这种调整过程符合指数衰减规律，即偏离平衡值的部分按 $e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}$ 衰减 当 $t$ 趋向无穷大时，指数项 $e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}$ 衰减为0，网络平均度趋向于 $(N-1)\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}$，这就是网络达到平衡状态后的理论平均度。 特征信号参数的平稳性 证明系统在平衡态下具有统计上的稳定性。 从节点空间分布证明平稳性。 设节点在模型区域的坐标为 $(X,Y)$，其分布概率密度函数写为 $$ f(x,y). $$ 那么节点在模型子区域 $R_1$ 中出现的概率为 $$ P_{R_1}=\int_{R_1} f(x,y) \,dx\,dy. $$ 在平衡状态下，理论上节点的位置分布 $f(x,y)$ 保持不变，即每个区域内节点出现的概率 $P_{R_1}$ 是常数，不随时间变化。证明在平衡状态下节点分布稳定。 扰动后的恢复能力 静止节点分布特性满足均匀分布,概率密度函数为 $g(x,y)$； 运动节点的概率密度函数为 $h(x,y)$； 在时刻 $t_0$ 时，网络中共有 $N$ 个节点，其中有 $s$ 个静止，故静止节点的比例为 $p=\frac{s}{N}$。 节点整体的分布概率密度函数可写为 $$ f(x,y)=p\, g(x,y)+(1-p)\, h(x,y). $$ 在平衡状态下，$p$ 的理论值为一个常数，所以 $f(x,y)$ 不随时间变化，从而网络连通度稳定。 接下来，考虑外界扰动的影响：假设在时刻 $t_1$ 新加入 $m$ 个符合均匀分布的节点， 扰动后的总分布（$t_1$时刻后） 新加入的 $m$ 个节点是静止的，其分布为 $g(x,y)$ 此时网络的总节点数 $N+m$： 静止节点总数：$s+m$ 运动节点总数：$N-s$（原有运动节点数不变） 因此，扰动后的分布为： $$ f(x,y,t_1) = \frac{s + m}{N + m} g(x,y) + \frac{N - s}{N + m} h(x,y) $$ $$ f(x,y,t_1) = p' \cdot g(x,y) + (1-p') \cdot h(x,y) $$ 其中 $p' = \frac{s + m}{N + m}$。 近似处理（当 $N, s \gg m$ 时） $$ p' = \frac{s + m}{N + m} \approx \frac{s}{N} = p $$ 因此，扰动后的分布近似为： $$ f(x,y,t_1) \approx p \cdot g(x,y) + (1-p) \cdot h(x,y) $$ 这与初始平衡态的分布相同，说明网络在扰动后恢复了平衡态。 系统稳定性分析 平衡点及误差坐标 论文第 2.1 节推导出，单条链路连通概率 $p_1(t)$ 满足 $$ \dot p_1(t) = -(\lambda_{01}+\lambda_{10})\,p_1(t) \;+\;\lambda_{01}. \tag{2‑18} $$ 网络有 $N$ 个节点，**平均度** $$ d(t) = (N-1)\,p_1(t). $$ 设平衡连通概率 $p_1^*$ 满足 $\dot p_1=0$，解得 **平衡点** $$ p_1^* = \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}, \quad d^* \;=\;(N-1)\,p_1^*. $$ **定义误差（偏离平衡的量）** $$ e(t)=d(t)-d^*. $$ 其中 $$ d(t)=(N-1)\,p_1(t), \qquad d^*=(N-1)\,p_1^*. $$ 将 $d$ 和 $d^*$ 代入 $$ e(t) =d(t)-d^* =(N-1)\,p_1(t)\;-\;(N-1)\,p_1^* =(N-1)\,\bigl[p_1(t)-p_1^*\bigr]. $$ 解得 $$ p_1(t)-p_1^* \;=\;\frac{e(t)}{\,N-1\,} \quad\Longrightarrow\quad p_1(t) =\frac{e(t)}{\,N-1\,}+p_1^*. $$ **误差求导** $$ \dot e(t) = \frac{d}{dt}\bigl[(N-1)(p_1-p_1^*)\bigr] = (N-1)\,\dot p_1(t), $$ 得到 $$ \dot e =(N-1)\Bigl[-(\lambda_{01}+\lambda_{10})\Bigl(\tfrac{e}{N-1}+p_1^*\Bigr) +\lambda_{01}\Bigr].\\\dot e = -(\lambda_{01}+\lambda_{10})\,e. $$ 这就是把原来以 $p_1$ 为自变量的微分方程，转写成以 "偏离平衡量" $e$ 为自变量的形式 记常数 $$ c = \lambda_{01}+\lambda_{10} >0, $$ 则误差模型就是一维线性常微分方程： $$ \dot e = -\,c\,e. $$ 构造李雅普诺夫函数 对一维系统 $\dot e=-ce$（$c>0$），自然选取 $$ V(e)=e^2 $$ 作为李雅普诺夫函数，理由是： $V(e)>0$ 当且仅当 $e\neq0$； 平衡点 $e=0$ 时，$V(0)=0$。 计算 $V$ 的时间导数 对 $V$ 关于时间求导： $$ \dot V(e) = \frac{d}{dt}\bigl(e^2\bigr) = 2\,e\,\dot e = 2\,e\,\bigl(-c\,e\bigr) = -2c\,e^2. $$ 因为 $c>0$ 且 $e^2\ge0$，所以 $$ \boxed{\dot V(e)\;=\;-2c\,e^2\;\le\;0.} $$ 当 $e\neq0$ 时，$\dot V<0$； 当 $e=0$ 时，$\dot V=0$。 这正是“半负定”（negative semi-definite）的定义。 结论 李雅普诺夫第二类定理告诉我们： 若存在一个函数 $V(e)$ 在平衡点处为 0、在邻域内正定，且其导数 $\dot V(e)$ 在该邻域内为半负定，则平衡点 $e=0$（即 $d=d^*$）是稳定的。 由于我们已经构造了满足上述条件的 $V(e)=e^2$，并验证了 $\dot V(e)\le0$，故平衡态 $d=d^*$ 是 李雅普诺夫意义下稳定 的。 网络特征谱参数的估算 由于邻接矩阵不能保证半正定性，因此会产生幂迭代估算过程不能收敛的问题。需构造$A^T A$ 基于奇异值分解改进幂迭代估算（集中式） 输入：矩阵 $B = A^T A$，目标特征值数量 $k$，收敛阈值 $\delta$ 输出：前 $k$ 个特征值 $\lambda_1' \geq \lambda_2' \geq \dots \geq \lambda_k'$ 及对应特征向量 $u_1', u_2', \dots, u_k'$ 1. 初始化 随机生成初始非零向量 $v^{(0)}$，归一化： $$ v^{(0)} \gets \frac{v^{(0)}}{|v^{(0)}|_2} $$ 设置已求得的特征值数量 $n \gets 0$，剩余矩阵 $B_{\text{res}} \gets B$ 2. 迭代求前k个特征值与特征向量 While $n < k$: 幂迭代求当前最大特征值与特征向量 初始化向量 $v^{(0)}$（若 $n=0$，用随机向量；否则用与已求特征向量正交的向量） Repeat: a. 计算 $v^{(t+1)} \gets B_{\text{res}} v^{(t)}$ b. 归一化： $$ v^{(t+1)}\gets \frac{v^{(t+1)}}{|v^{(t+1)}|2} $$ c. 计算 Rayleigh 商： $$ y^{(t)} = \frac{(v^{(t)})^T B{\text{res}} v^{(t)}}{(v^{(t)})^T v^{(t)}} $$ d. Until $|y^{(t)} - y^{(t-1)}| < \delta$（收敛） 记录当前特征值与特征向量： $$ \lambda_{n+1}' \gets y^{(t)}, \quad u_{n+1}' \gets v^{(t)} $$ 收缩矩阵以移除已求特征分量 每次收缩操作将已求得的特征值从矩阵中“移除”，使得剩余矩阵的谱（特征值集合）中次大特征值“升级”为最大特征值。 更新剩余矩阵： $$ B_{\text{res}} \gets B_{\text{res}} - \lambda_{n+1}' u_{n+1}' (u_{n+1}')^T $$ 确保 $B_{\text{res}}$ 的对称性（数值修正） 增量计数 $n \gets n + 1$ 瑞利商公式 集中式： $$ y(k)= \frac{x(k)^T A x(k)}{x(k)^T x(k)} $$ 分布式一致性计算： $$ y(k) = \frac{\sum_{i=1}^N x_i(k) b_i(k)}{\sum_{i=1}^N x_i^2(k)} $$ 其中 $$ b_i(k) = \sum_j a_{ij} x_j(k) $$ 两者是等价的： 考虑一个简单的2×2矩阵 $$ A = \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}. $$ 集中式计算 $$ y= \frac{x^T A x}{x^T x} = \frac{\begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}{2^2 + 1^2} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5} = 2.8. $$ 分布式计算 各节点分别计算本地观测值 节点1的计算： $$ b_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5. $$ 节点2的计算： $$ b_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4. $$ 然后通过全网共识计算 $$ y = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 4}{2^2 + 1^2} = \frac{14}{5} = 2.8. $$ 主要符号表 符号 类型 含义 存储/计算位置 $n$ 下标 当前计算的奇异值序号（从0开始） 全局共识 $K$ 常量 需要计算的前$K$大奇异值总数 预设参数 $j,k$ 下标 节点编号（$j$表示当前节点） 本地存储 $𝒩_j$ 集合 节点$j$的邻居节点集合 本地拓扑信息 $a_{jk}$ 矩阵元素 邻接矩阵$A$中节点$j$与$k$的连接权值 节点$j$本地存储 $v_{n,j}^{(t)}$ 向量分量 第$n$个右奇异向量在节点$j$的分量（第$t$次迭代） 节点$j$存储 $u_{n,j}$ 向量分量 第$n$个左奇异向量在节点$j$的分量 节点$j$计算存储 $\sigma_n$ 标量 第$n$个奇异值 全局共识存储 $\delta$ 标量 收敛阈值 预设参数 分布式幂迭代求前$K$大奇异对 While $n < K$: 初始化： 若 $n = 0$： 各节点$j$随机初始化 $v_{0,j}^{(0)} \sim \mathcal{N}(0,1)$ 若 $n > 0$： 分布式Gram-Schmidt正交化： $$ v_{n,j}^{(0)} \gets v_{n,j}^{(0)} - \sum_{m=0}^{n-1} \underbrace{\text{Consensus}\left(\sum_k v_{m,k} v_{n,k}^{(0)}\right)}{\text{全局内积}\langle v_m, v_n^{(0)} \rangle} v{m,j} $$ 分布式归一化： $$ v_{n,j}^{(0)} \gets \frac{v_{n,j}^{(0)}}{\sqrt{\text{Consensus}\left(\sum_k (v_{n,k}^{(0)})^2\right)}} $$ 迭代计算： Repeat： a. 第一轮通信（计算$z=Av$）： $$ z_j^{(t)} = \sum_{k \in 𝒩_j} a_{jk} v_{n,k}^{(t)} \quad \text{(邻居交换$v_{n,k}^{(t)}$)} $$ b. 第二轮通信（计算$y=A^T z$）： $$ y_j^{(t+1)} = \sum_{k \in 𝒩_j} a_{kj} z_k^{(t)} \quad \text{(邻居交换$z_k^{(t)}$)} $$ c. 隐式收缩（$n>0$时）： $$ y_j^{(t+1)} \gets y_j^{(t+1)} - \sum_{m=0}^{n-1} \sigma_m^2 v_{m,j} \cdot \underbrace{\text{Consensus}\left(\sum_k v_{m,k} y_k^{(t+1)}\right)}{\text{投影系数计算}} $$ d. 归一化： $$ v{n,j}^{(t+1)} = \frac{y_j^{(t+1)}}{\sqrt{\text{Consensus}\left(\sum_k (y_k^{(t+1)})^2\right)}} $$ e. 计算Rayleigh商： $$ \lambda^{(t)} = \text{Consensus}\left(\sum_k v_{n,k}^{(t)} y_k^{(t+1)}\right) $$ f. 终止条件： $$ \text{If } \frac{|\lambda^{(t)} - \lambda^{(t-1)}|}{|\lambda^{(t)}|} < \delta \text{ then break} $$ 保存结果： $$ \sigma_n = \sqrt{\lambda^{(\text{final})}}, \quad v_{n,j} = v_{n,j}^{(\text{final})} $$ 所有节点同步 $n \gets n + 1$ 分布式计算左奇异向量$u_{n,j}$ 对于邻接矩阵 $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$，其奇异值分解为： $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中： $U$ 的列向量 ${u_n}$ 是左奇异向量 $V$ 的列向量 ${v_n}$ 是右奇异向量 $\Sigma$ 是对角矩阵，元素 $\sigma_n$ 为奇异值 左奇异向量的定义关系： $$ A v_n = \sigma_n u_n \quad \Rightarrow \quad u_n = \frac{1}{\sigma_n} A v_n $$ 展开为分量形式（对第 $j$ 个分量）： $$ u_{n,j} = \frac{1}{\sigma_n} \sum_{k=1}^N a_{jk} v_{n,k} $$ 输入：$\sigma_n$, $v_{n,j}$（来自幂迭代最终结果） For $n = 0$ to $K-1$： 本地计算： $$ u_{n,j} = \frac{1}{\sigma_n} \sum_{k \in 𝒩_j} a_{jk} v_{n,k} \quad \text{(需邻居节点发送$v_{n,k}$)} $$ 正交归一化： For $m = 0$ to $n-1$： $$ u_{n,j} \gets u_{n,j} - \text{Consensus}\left(\sum_k u_{m,k} u_{n,k}\right) \cdot u_{m,j} $$ 归一化： $$ u_{n,j} \gets \frac{u_{n,j}}{\sqrt{\text{Consensus}\left(\sum_k u_{n,k}^2\right)}} $$ 分布式重构邻接矩阵$A$ 输入：$\sigma_n$, $u_{n,j}$, $v_{n,k}$ For 每个节点$j$并行执行： 对每个邻居$k \in 𝒩_j$： 请求节点$k$发送$v_{n,k}$（$n=0,...,K-1$） 计算： $$ a_{jk} = \sum_{n=0}^{K-1} \sigma_n u_{n,j} v_{n,k} $$ 非邻居元素： $$ a_{jk} = 0 \quad \text{for} \quad k \notin 𝒩_j $$ 非稳态下动态特征参数的估算 一致性控制策略 异步更新模型 节点仅在离散时刻 $t_k^i$ 接收邻居信息，更新自身状态 $x_i(t)$。 各节点的状态更新时刻是独立的 延时处理 若检测到延时，节点选择最新收到的邻居状态替代旧值（避免使用过期数据）。 一致性协议设计 无时延系统 $$ \dot i = \sum{j \in N(t_k^i, i)} a_{ij}(t_k^i) \left( x_j(t_k^i) - x_i(t) \right) $$ 参数 含义 $\dot _i$ 节点 $i$ 的状态变化率（导数），表示 $x_i$ 随时间的变化速度。 $x_i(t)$ 节点 $i$ 在时刻 $t$ 的本地状态值（如特征估计、传感器数据等）。 $x_j(t_k^i)$ 节点 $i$ 在 $t_k^i$ 时刻收到的邻居节点 $j$ 的状态值。 $N(t_k^i, i)$ 节点 $i$ 在 $t_k^i$ 时刻的邻居集合（可直接通信的节点）。 $a_{ij}(t_k^i)$ 权重因子，控制邻居 $j$ 对节点 $i$ 的影响权重，满足 $\sum_j a_{ij} = 1$。 有时延系统 $$ \dot i = \sum{j \in N(t_k^i, i)} a_{ij}(t_k^i) \left( x_j(t_k^i - \tau_{ij}^k) - x_i(t) \right) $$ 参数 含义 $\tau_{ij}^k$ 节点 $j$ 到 $i$ 在时刻 $t_k^i$ 的信息传输延时。 $t_k^i - \tau_{ij}^k$ 节点 $i$ 实际使用的邻居状态 $x_j$ 的有效时刻（扣除延时）。 权重$\alpha_{ij}$ $$ \text{有有效邻居时 } a_{ij}(t) = \begin{cases} \frac{\alpha_{ij}(t_k^i)}{\sum_{s \in N(t_k^i, i)} \alpha_{is}(t_k^i)}, & \text{若 } j \in N(t_k^i, i) \ 0, & \text{若 } j \notin N(t_k^i, i) \end{cases} $$ $$ \text{无有效邻居时 } a_{ij}(t) = \begin{cases} 1, & \text{若 } j = i \ 0, & \text{若 } j \neq i \end{cases} $$ 通信拓扑定义 引入 $G^0(t)$：实际成功通信的瞬时拓扑（非理想链路 $G(t)$），强调有效信息传递而非物理连通性。 收敛性分析 动态网络的收敛条件： 在节点移动导致的异步通信和随机延时下，只要网络拓扑满足有限时间内的联合连通性（即时间窗口内信息能传递到全网），所有节点的状态 $x_i$ 最终会收敛到同一全局值。 （平均代数连通度 > 0 == 动态网络拓扑的平均拉普拉斯矩阵的第二小特征值>0 ） 无需时刻连通：允许瞬时断连，但长期需保证信息能通过动态链路传递。 基于 UKF 的滤波估算 KF EKF UKF 线性要求 严格线性 弱非线性 强非线性 可微要求 - 必须可微 不要求 计算复杂度 低 中 中 适用场景 线性系统 平滑非线性 剧烈非线性 本文基于UKF： 采用**确定性采样（Sigma点）**直接近似非线性分布 完全规避对 f(x) 和 h(x) 的求导需求 保持高斯系统假设 允许函数不连续/不可微 适应拓扑突变等非线性情况 UKF 具体步骤 符号说明 $i$: 节点索引，$N$ 为总节点数 $x_i(k)$: 节点 $i$ 在时刻 $k$ 的状态分量 ($x$) $b_i(k)$: 节点 $i$ 的本地状态估计值 （相当于$Ax$） $a_{ij}$: 邻接矩阵元素（链路权重） $Q_k, R_k$: 过程噪声与观测噪声协方差 $\mathcal{X}_{i,j}$: 节点 $i$ 的第 $j$ 个 Sigma 点 $W_j^{(m)}, W_j^{(c)}$: Sigma 点权重（均值和协方差） Step 1: 分布式初始化 节点状态初始化： 每个节点 $i$ 随机生成初始状态分量 $x_i(0)$。 本地状态估计 $b_i(0)$ 初始化为 $x_i(0)$。 Step 2: 生成 Sigma 点（确定性采样） 在每个节点本地执行： 计算 Sigma 点： $$ \begin{aligned} \mathcal{X}{i,0} &= \hat{b}{i,k-1} \ \mathcal{X}{i,j} &= \hat{b}{i,k-1} + \left( \sqrt{(n+\lambda) P_{i,k-1}} \right)j \quad (j=1,\dots,n) \ \mathcal{X}{i,j+n} &= \hat{b}{i,k-1} - \left( \sqrt{(n+\lambda) P{i,k-1}} \right)_j \quad (j=1,\dots,n) \end{aligned} $$ $\lambda = \alpha^2 (n + \kappa) - n$（缩放因子，$\alpha$ 控制分布范围，$\kappa$ 通常取 0） $\sqrt{(n+\lambda) P}$ 为协方差矩阵的平方根（如 Cholesky 分解） 计算 Sigma 点权重： $$ \begin{aligned} W_0^{(m)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} \quad &\text{(中心点均值权重)} \ W_0^{(c)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} + (1 - \alpha^2 + \beta) \quad &\text{(中心点协方差权重)} \ W_j^{(m)} = W_j^{(c)} &= \frac{1}{2(n + \lambda)} \quad (j=1,\dots,2n) \quad &\text{(对称点权重)} \end{aligned} $$ $\beta$ 为高阶矩调节参数（高斯分布时取 2 最优） Step 3: 预测步骤（时间更新） 传播 Sigma 点： $$ \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* = f(\mathcal{X}{i,j,k-1}) + q_k \quad (j=0,\dots,2n) $$ $f(\cdot)$ 为非线性状态转移函数 $q_k$ 为过程噪声 ，反映网络拓扑动态变化（如节点移动导致的链路扰动）。 计算预测均值和协方差： $$ \hat{b}{i,k|k-1} = \sum{j=0}^{2n} W_j^{(m)} \mathcal{X}_{i,j,k|k-1}^* $$ $$ P_{i,k|k-1} = \sum_{j=0}^{2n} W_j^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* - \hat{b}{i,k|k-1} \right) \left( \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* - \hat{b}{i,k|k-1} \right)^T + Q_k $$ $Q_k$ 为过程噪声协方差 Step 4: 分布式观测生成 邻居状态融合： 节点 $ i $ 从邻居 $ j $ 获取其本地观测值 $ b_{j,\text{local}}(k) $： $$ b_{j,\text{local}}(k) = \sum_{l=1}^N a_{jl} x_l(k) \quad \text{(节点 $ j $ 对邻居状态的加权融合)} $$ 节点 $ i $ 综合邻居信息生成自身观测： $$ b_i^H(k) = \sum_{j=1}^N a_{ji} b_{j,\text{local}}(k) + r_k $$ 注：$ r_k $ 为通信噪声，反映信息传输误差（如延时、丢包）。 Step 5: 观测更新（测量更新） 观测 Sigma 点： $$ \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} = h(\mathcal{X}{i,j,k|k-1}^*) + r_k \quad (j=0,\dots,2n) $$ $h(\cdot)$ 为非线性观测函数 计算观测统计量： $$ \hat{z}{i,k|k-1} = \sum{j=0}^{2n} W_j^{(m)} \mathcal{Z}_{i,j,k|k-1} $$ $$ P_{i,zz} = \sum_{j=0}^{2n} W_j^{(c)} \left( \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} - \hat{z}{i,k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} - \hat{z}{i,k|k-1} \right)^T + R_k $$ $$ P_{i,xz} = \sum_{j=0}^{2n} W_j^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* - \hat{b}{i,k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} - \hat{z}{i,k|k-1} \right)^T $$ $R_k$ 为观测噪声协方差 计算卡尔曼增益并更新状态： $$ K_{i,k} = P_{i,xz} P_{i,zz}^{-1} $$ $$ \hat{b}{i,k|k} = \hat{b}{i,k|k-1} + K_{i,k} \left( b_i^H(k) - \hat{z}_{i,k|k-1} \right) $$ $$ P_{i,k|k} = P_{i,k|k-1} - K_{i,k} P_{i,zz} K_{i,k}^T $$ Step 6: 全局一致性计算 瑞利商计算： 所有节点通过一致性协议交换 $\hat{b}{i,k|k}$，计算全局状态： $$ y(k) = \frac{\sum{i=1}^N x_i(k) \hat{b}{i,k|k}}{\sum{i=1}^N x_i^2(k)} $$ 正交化： 更新本地状态分量(相当于幂迭代$x=Ax$再归一化)： $$ x_i(k+1) = \frac{\hat{b}_{i,k|k}}{|\hat{b}(k)|_2} $$ Step 7: 收敛判断 若 $y(k)$ 收敛，输出 $\sigma = \sqrt{y(k)}$；否则返回 Step 2。 稳态下动态特征参数的估算 稳态下，网络拓扑变化趋于平稳，奇异值的理论曲线不再随时间变化（实际值因噪声围绕理论值波动）。此时采用集中式多观测值卡尔曼滤波 多观测值滤波算法 核心思想：利用相邻奇异值的有序性约束（$\sigma_{n-1} \leq \sigma_n \leq \sigma_{n+1}$），构造双观测值作为上下界，限制估计范围。 观测值生成： 对第$n$大奇异值$\sigma_n$，其观测值$y_n$由相邻奇异值线性组合： $$ y_n = C_1 \sigma_{n-1} + C_2 \sigma_{n+1} $$ 系数$C_1, C_2$：根据$\sigma_{n-1}$和$\sigma_{n+1}$的权重动态调整（如距离比例）。 物理意义：将$\sigma_{n-1}$和$\sigma_{n+1}$作为$\sigma_n$的下界和上界，避免单观测值因噪声导致的估计偏离。 疑问： 第三章的目的是什么？先分解再重构的意义在？ 状态转移函数和观测函数怎么来？UKF每次预测单奇异值，如何同时预测K个呢？ 卡尔曼滤波 观测值怎么来？是否需要拟合历史数据生成观测值？还是根据第三章分布式幂迭代求真实的特征值？
科研
zy123
4月16日
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2025-04-14
高飞论文
高飞论文 证明特征值序列为平稳的时间序列 问题设定 研究对象 设 ${\lambda_1(A)t}{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。 目标 证明 ${\lambda_1(A)_t}$ 是 二阶（弱）平稳的时间序列，即 $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）； $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）； $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)t,\lambda_1(A){t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。 关键假设 矩阵统计特性（引理 1） $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 ${a_{ij}}{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a{ij}|\le K$。 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。 $N$ 足够大时 $$ E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad \operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 . $$ 说明： $\sigma^2$ 这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即 $$ \text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2. $$ 根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。 $\sigma_1^2$ 这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即 $$ \text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2. $$ 当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。 时间序列模型 对去中心化序列 $$ \tilde z_t:=\lambda_1(A)t-\mu_1 $$ 假设其服从 AR(1) $$ \tilde z_t=\rho,\tilde z{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1, $$ 且 $\varepsilon_t$ 与历史 ${\tilde z_{s}}_{s<t}$ 独立。 证明主特征值序列平稳 (1) 均值恒定性的推导 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此 $$ E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1, $$ 与 $t$ 无关，满足第一条。 (2) 方差恒定 AR(1)模型定义为： $$ z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t $$ $$ \begin{aligned} z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\ &= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\ &= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\ &= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \end{aligned} $$ $$ \text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j}) $$ 由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立， $$ = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} $$ $|\rho| < 1$ 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。 根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设： $$ \sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2 $$ 此时： $$ \text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2 $$ (3) 协方差仅依赖滞后 $k$ 对 $k\ge0$， $$ \gamma(k):=\operatorname{Cov}(\tilde z_t,\tilde z_{t-k}) =\rho^{k}\sigma_{\tilde z}^{2}, $$ 仅含 $k$ 而与 $t$ 无关；于是 $$ \operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k), $$ 满足第三条。 (4) 平稳性的核心条件 |ρ| < 1 是关键条件 直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱； $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。 噪声独立性：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。 证明剩余特征值平稳： 1. 收缩操作（Deflation）的严格定义 设 $A_t$ 的谱分解为： $$ A_t = \sum_{i=1}^N \lambda_i u_i u_i^\top, $$ 其中 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N$，且 $\{u_i\}$ 是标准正交基。 第一次收缩： 定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为： 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。 特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。 第 $k$ 次收缩： 递归定义： $$ A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top, $$ 剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。 每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。 2. 剩余特征值的统计特性 目标：证明 ${\lambda_k(A_t)}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。 (1) 均值恒定性 剩余矩阵的期望： 由线性性： $$ E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top]. $$ 若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。 特征值期望： 对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为： $$ E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1}, $$ 其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。 (2) 方差恒定性 剩余矩阵的方差： 收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。 由引理1的推广： $$ \text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2. $$ 动态模型： 假设去中心化序列 $\tilde{z}{k+1,t} = \lambda{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)： $$ \tilde{z}{k+1,t} = \rho{k+1} \tilde{z}{k+1,t-1} + \varepsilon{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1, $$ 稳态方差为： $$ \sigma_{\tilde{z}{k+1}}^2 = \frac{\sigma{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2. $$ (3) 协方差仅依赖滞后 $m$ 协方差函数： $$ \gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}{k+1,t}, \tilde{z}{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2. $$ 仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。 3. 递推证明的完整性 归纳基础： $k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。 归纳假设： 假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即： $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数）， $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限）， $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。 归纳步骤： 通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。 若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。 网络重构分析 假设网络中有 $n$ 个节点，则矩阵 $A(G)$ 的维度为 $n \times n$，预测得到特征值和特征向量后，可以根据矩阵谱分解理论进行逆向重构网络邻接矩阵，表示如下： $$ A(G) = \sum_{i=1}^n \hat{\lambda}_i \hat _i \hat _i^T $$ 其中 $\hat{\lambda}_i$ 和 $\hat _i$ 分别为通过预测得到矩阵 $A(G)$ 的第 $i$ 个特征值和对应特征向量。 然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。 对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。 $$ a_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{if}\ \lvert a_{ij} - 1 \rvert < 0.5 \\ 0, & \text{else} \end{cases} $$ 只要我们的估计值与真实值之间差距**小于 0.5**，就能保证阈值处理以后准确地恢复原边信息。 文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律 真实矩阵 $A(G)$ 与预测矩阵 $\hat{A}(G) $ 之间的差为 $$ A(G) - \hat{A}(G) = \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m \hat _m \hat _m^T. $$ 对于任意元素 $(i, j)$ 上有 $$ \left| \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m (\hat _m \hat _m^T)_{ij} \right| = |a_{ij} - \hat{a}_{ij}| < \frac{1}{2} $$ 于一个归一化的特征向量 $\hat _m$，其外积矩阵 $\hat _m \hat _m^T$ 的元素理论上满足 $$ |(\hat _m \hat _m^T)_{ij}| \leq 1. $$ 经过分析推导可以得出发生特征扰动时，网络精准重构条件为： $$ \sum_{m=1}^n \Delta \lambda_m < \frac{1}{2} $$ $$ \Delta {\lambda} < \frac{1}{2n} $$ 0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。 如果在高层次（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在低层次（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和不超过 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。 基于时空特征的节点位置预测 在本模型中，整个预测流程分为两大模块： GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的空间表示**。这里的输入主要包括： 邻接矩阵 $A$：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 $N$ 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取) 特征矩阵 $H^{(0)}$：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 $d$ 是初始特征维度。 LSTM 模块：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。 其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 $T$ 表示时间步数，$d'$ 是经过 GCN 后的特征维度。 GCN 模块 输入 邻接矩阵 $A$：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成 $$ \hat{A} = A + I. $$ 特征矩阵 $H^{(0)}$：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。 图卷积操作 常用的图卷积计算公式为： $$ H^{(l+1)} = \sigma \Bigl(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)} \Bigr) $$ 其中： $\tilde{A} = A + I$ 为加上自环后的邻接矩阵， $\tilde{D}$ 为 $\tilde{A}$ 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}{ii} = \sum{j}\tilde{A}_{ij}$； $H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点特征，初始时 $H^{(0)}$ 就是输入特征矩阵； $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 $d$ 到 $d'$）； $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。 经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。 其中： 每一行 $x_i \in \mathbb{R}^{d'}$ 表示节点 $i$ 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。 输出 GCN 输出：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。 这里 $d'>d$ 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。 LSTM 模块 输入数据构造 在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 $T$ 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 $T+2$... 对于每个时刻 $t$，节点 $i$ 的空间特征 $x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'}$ 由 GCN 得到； 将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列： $$ X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},, x_i^{(t-T+2)},, \dots,, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}. $$ 对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。 LSTM 内部运作 LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$ 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 $C_t$ 和隐藏状态 $h_t$。公式如下 遗忘门： $$ f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},, x_t] + b_f) $$ 输入门和候选记忆： $$ i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}t = \tanh(W_C [h{t-1},, x_t] + b_C) $$ 记忆更新： $$ C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t $$ 输出门和隐藏状态： $$ o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t) $$ 其中，$x_t$ 在这里对应每个节点在时刻 $t$ 的 GCN 输出特征； $[h_{t-1},, x_t]$ 为连接后的向量； LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 $d''$ 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。 输出与预测 最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 $h_t$ 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。 全连接层转换公式： $$ \hat{y}i = W{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}} $$ 其中，假设预测的是二维坐标（例如 $x$ 和 $y$ 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 $\hat{y}_i \in \mathbb{R}^2$ 表示节点 $i$ 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。 若整个网络有 $N$ 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。 疑问 该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！
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zy123
4月14日
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2025-04-01
凸优化问题求解
凸优化 核心概念 凸函数 定义：$f(x)$ 是凸函数当且仅当 $$ f(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) \leq \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2), \quad \forall x_1,x_2 \in \text{dom}(f), \theta \in [0,1] $$ 示例：$f(x)=x^2$, $f(x)=e^x$ 验证 $f(x) = x^2$ 是凸函数： 代入 $f(x) = x^2$： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \leq \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$ 展开左边： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 = \theta^2 x_1^2 + 2\theta(1-\theta)x_1x_2 + (1-\theta)^2 x_2^2 $$ 右边： $$ \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$ 计算差值（右边减左边）： $$ \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 - \theta^2 x_1^2 - 2\theta(1-\theta)x_1x_2 - (1-\theta)^2 x_2^2 $$ 化简： $$ = \theta(1-\theta)x_1^2 + (1-\theta)\theta x_2^2 - 2\theta(1-\theta)x_1x_2 $$ $$ = \theta(1-\theta)(x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2) $$ $$ = \theta(1-\theta)(x_1 - x_2)^2 \geq 0 $$ 结论： 因为 $\theta \in [0,1]$，所以 $\theta(1-\theta) \geq 0$，且 $(x_1 - x_2)^2 \geq 0$。 因此，右边减左边 $\geq 0$，即： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \leq \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$ $f(x)=x^2$ 满足凸函数的定义。 凸集 集合中任意两点的连线仍然完全包含在该集合内。换句话说，这个集合没有“凹陷”的部分。 定义：集合$X$是凸集当且仅当 $$ \forall x_1,x_2 \in X, \theta \in [0,1] \Rightarrow \theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in X $$ 示例：超平面、球体 凸优化问题标准形式 $$ \min_x f(x) \quad \text{s.t.} \quad \begin{cases} g_i(x) \leq 0 & (凸不等式约束) \\ h_j(x) = 0 & (线性等式约束) \\ x \in X & (凸集约束) \end{cases} $$ 交替方向乘子法（ADMM） Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) 是一种用于求解大规模优化问题的高效算法，结合了拉格朗日乘子法和分裂方法的优点。 基本概念 优化问题分解 ADMM 的核心思想是将复杂优化问题分解为多个较简单的子问题，通过引入辅助变量将原问题转化为约束优化问题，使子问题独立求解。 拉格朗日乘子 利用拉格朗日乘子处理约束条件，构造增强拉格朗日函数，确保子问题求解时同时考虑原问题的约束信息。 交替更新 通过交替更新子问题的解和拉格朗日乘子，逐步逼近原问题的最优解。 算法流程 问题分解 将原问题分解为两个子问题。假设原问题表示为： $\min_{x, z} f(x) + g(z) \quad \text{s.t.} \quad Ax + Bz = c$ 其中 $f$ 和 $g$ 是凸函数，$A$ 和 $B$ 为给定矩阵。 构造增强拉格朗日函数 引入拉格朗日乘子 $y$，构造增强拉格朗日函数： $L_\rho(x, z, y) = f(x) + g(z) + y^T(Ax+Bz-c) + \frac{\rho}{2}|Ax+Bz-c|^2$ 其中 $\rho > 0$ 控制惩罚项的权重。 交替更新 更新 $x$：固定 $z$ 和 $y$，求解 $\arg\min_x L_\rho(x, z, y)$。 更新 $z$：固定 $x$ 和 $y$，求解 $\arg\min_z L_\rho(x, z, y)$。 更新乘子 $y$：按梯度上升方式更新： $y := y + \rho(Ax + Bz - c)$ 迭代求解 重复上述步骤，直到原始残差和对偶残差满足收敛条件（如 $|Ax+Bz-c| < \epsilon$）。 例子 下面给出一个简单的数值例子，展示 ADMM 在求解分解问题时的迭代过程。我们构造如下问题： $$ \begin{aligned} \min_{x, z}\quad & (x-1)^2 + (z-2)^2 \\ \text{s.t.}\quad & x - z = 0. \end{aligned} $$ 注意：由于约束要求 $x=z$，实际问题等价于 $$ \min_ (x-1)^2 + (x-2)^2, $$ 其解析最优解为： $$ 2(x-1)+2(x-2)=4x-6=0\quad\Rightarrow\quad x=1.5, $$ 因此我们希望得到 $x=z=1.5$。 构造 ADMM 框架 将问题写成 ADMM 标准形式： 令 $$ f(x)=(x-1)^2,\quad g(z)=(z-2)^2, $$ 约束写为 $$ x-z=0, $$ 即令 $A=1$、$B=-1$、$c=0$。 增强拉格朗日函数为 $$ L_\rho(x,z,y)=(x-1)^2+(z-2)^2+y(x-z)+\frac{\rho}{2}(x-z)^2, $$ 其中 $y$ 是拉格朗日乘子，$\rho>0$ 是惩罚参数。为简单起见，我们选取 $\rho=1$。 ADMM 的更新公式 针对本问题可以推导出三个更新步骤： $\arg\min_x; $表示在变量 $x$ 的可行范围内，找到使目标函数 $f(x)$ 最小的 $x$ 的具体值。 $k$ 代表当前的迭代次数 更新 $x$： 固定 $z$ 和 $y$，求解 $$ x^{k+1} = \arg\min_x; (x-1)^2 + y^k(x-z^k)+\frac{1}{2}(x-z^k)^2. $$ 对 $x$ 求导并令其为零： $$ 2(x-1) + y^k + (x-z^k)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)x = 2 + z^k - y^k, $$ 得到更新公式： $$ x^{k+1} = \frac{2+z^k-y^k}{3}. $$ 更新 $z$： 固定 $x$ 和 $y$，求解 $$ z^{k+1} = \arg\min_z; (z-2)^2 - y^kz+\frac{1}{2}(x^{k+1}-z)^2. $$ 注意：由于 $y(x-z)$ 中关于 $z$ 的部分为 $-y^kz$（常数项 $y^kx$ 可忽略），求导得： $$ 2(z-2) - y^k - (x^{k+1}-z)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)z = 4 + y^k + x^{k+1}, $$ 得到更新公式： $$ z^{k+1} = \frac{4+y^k+x^{k+1}}{3}. $$ 更新 $y$： 按梯度上升更新乘子： $$ y^{k+1} = y^k + \rho,(x^{k+1}-z^{k+1}). $$ 这里 $\rho=1$，所以 $$ y^{k+1} = y^k + \bigl(x^{k+1}-z^{k+1}\bigr). $$ 数值迭代示例 第 1 次迭代： 更新 $x$： $$ x^1 = \frac{2+z^0-y^0}{3}=\frac{2+0-0}{3}=\frac{2}{3}\approx0.667. $$ 更新 $z$： $$ z^1 = \frac{4+y^0+x^1}{3}=\frac{4+0+0.667}{3}\approx\frac{4.667}{3}\approx1.556. $$ 更新 $y$： $$ y^1 = y^0+(x^1-z^1)=0+(0.667-1.556)\approx-0.889. $$ 第 2 次迭代： 更新 $x$： $$ x^2 = \frac{2+z^1-y^1}{3}=\frac{2+1.556-(-0.889)}{3}=\frac{2+1.556+0.889}{3}\approx\frac{4.445}{3}\approx1.4817. $$ 更新 $z$： $$ z^2 = \frac{4+y^1+x^2}{3}=\frac{4+(-0.889)+1.4817}{3}=\frac{4-0.889+1.4817}{3}\approx\frac{4.5927}{3}\approx1.5309. $$ 更新 $y$： $$ y^2 = y^1+(x^2-z^2)\approx -0.889+(1.4817-1.5309)\approx -0.889-0.0492\approx -0.938. $$ 第 3 次迭代： 更新 $x$： $$ x^3 = \frac{2+z^2-y^2}{3}=\frac{2+1.5309-(-0.938)}{3}=\frac{2+1.5309+0.938}{3}\approx\frac{4.4689}{3}\approx1.4896. $$ 更新 $z$： $$ z^3 = \frac{4+y^2+x^3}{3}=\frac{4+(-0.938)+1.4896}{3}\approx\frac{4.5516}{3}\approx1.5172. $$ 更新 $y$： $$ y^3 = y^2+(x^3-z^3)\approx -0.938+(1.4896-1.5172)\approx -0.938-0.0276\approx -0.9656. $$ 从迭代过程可以看出： $x$ 和 $z$ 的值在不断调整，目标是使两者相等，从而满足约束。 最终随着迭代次数增加，$x$ 和 $z$ 会收敛到约 1.5，同时乘子 $y$ 收敛到 $-1$（这与 KKT 条件相符）。 应用领域 大规模优化 在大数据、机器学习中利用并行计算加速求解。 信号与图像处理 用于去噪、压缩感知等稀疏表示问题。 分布式计算 在多节点协同场景下求解大规模问题。 优点与局限性 优点 局限性 分布式计算能力 小规模问题可能收敛较慢 支持稀疏性和正则化 参数 $\rho$ 需精细调节 收敛性稳定 — KKT 条件 KKT 条件是用于求解约束优化问题的一组必要条件，特别适用于非线性规划问题。当目标函数是非线性的，并且存在约束时，KKT 条件提供了优化问题的最优解的必要条件。 一般形式 考虑优化问题： $$ \min_x f(x) $$ 约束条件： $$ g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ $$ h_j(x) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, p $$ KKT 条件 1. 拉格朗日函数 构造拉格朗日函数： $$ \mathcal{L}(x, \lambda, \mu) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^p \mu_j h_j(x) $$ 其中： $\lambda_i$ 是不等式约束的拉格朗日乘子 $\mu_j$ 是等式约束的拉格朗日乘子 2. 梯度条件（驻点条件） $$ \nabla_x \mathcal{L}(x, \lambda, \mu) = 0 $$ 即： $$ \nabla f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^p \mu_j \nabla h_j(x) = 0 $$ 3. 原始可行性条件 $$ g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ $$ h_j(x) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, p $$ 4. 对偶可行性条件 $$ \lambda_i \geq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ 5. 互补松弛性条件 $$ \lambda_i g_i(x) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ （即：$\lambda_i > 0 \Rightarrow g_i(x) = 0$，或 $g_i(x) < 0 \Rightarrow \lambda_i = 0$） 示例： 我们有以下优化问题： $$ \min_x \quad f(x) = x^2 \\ \text{s.t.} \quad g(x) = x - 1 \leq 0 $$ 首先，我们可以直观地理解这个问题： 目标函数f(x)=x²是一个开口向上的抛物线，无约束时最小值在x=0 约束条件x-1≤0意味着x≤1 所以我们需要在x≤1的范围内找f(x)的最小值 显然，无约束最小值x=0已经满足x≤1的约束，因此x=0就是最优解。但让我们看看KKT条件如何形式化地得出这个结论。 1. 构造拉格朗日函数 拉格朗日函数为： $$ \mathcal{L}(x, \lambda) = x^2 + \lambda(x-1), \quad \lambda \geq 0 $$ 这里λ是拉格朗日乘子，必须非负（因为是不等式约束）。 2. KKT条件 KKT条件包括： 平稳性条件：∇ₓℒ = 0 原始可行性：g(x) ≤ 0 对偶可行性：λ ≥ 0 互补松弛性：λ·g(x) = 0 平稳性条件 对x求导： $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \quad (1) $$ 互补松弛性 $$ \lambda(x-1) = 0 \quad (2) $$ 这意味着有两种情况： 情况1：λ=0 情况2：x-1=0（即x=1） 情况1：λ=0 步骤 计算过程 结果 平稳性条件 $2x + 0 = 0 \Rightarrow x = 0$ $x = 0$ 原始可行性 $g(0) = 0 - 1 = -1 \leq 0$ 满足 对偶可行性 $\lambda = 0 \geq 0$ 满足 互补松弛性 $0 \cdot (-1) = 0$ 满足 情况2：x=1 步骤 计算过程 结果 平稳性条件 $2(1) + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -2$ $\lambda = -2$ 对偶可行性 $\lambda = -2 \geq 0$ 不满足（乘子为负） 唯一满足所有KKT条件的解是x=0, λ=0。 总结 KKT 条件通过拉格朗日乘子法将约束和目标函数结合，为求解约束优化问题提供了必要的最优性条件。其核心是： 拉格朗日函数的梯度为零 原始约束和对偶约束的可行性 互补松弛性
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zy123
4月1日
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