动态图神经网络

如何对GAT的权重（$W$）和注意力参数（$a$）进行增量更新（邻居偶尔变化）

1. 核心思想

• 局部更新：邻居变化的节点及其直接邻域的权重和注意力参数需要调整，其他部分冻结。
• 梯度隔离：反向传播时，仅计算受影响节点的梯度，避免全局参数震荡。

2. 数学实现步骤

(1) 识别受影响的节点

设邻居变化后的新邻接矩阵为 $\tilde{A}$，原邻接矩阵为 $A$，受影响节点集合 $\mathcal{V}_{\text{affected}}$ 包括：

• 新增或删除边的两端节点（直接受影响）。
• 这些节点的1-hop邻居（间接受影响，根据GAT层数决定）。

(2) 损失函数局部化

仅对 $\mathcal{V}_{\text{affected}}$ 中的节点计算损失：

(3) 梯度计算与参数更新

• 梯度掩码：
  反向传播时，非受影响节点的梯度强制置零：
  $$ \nabla_{W,a} \mathcal{L}{\text{incremental}} = \left{ \begin{array}{ll} \nabla{W,a} \ell(y_i, \hat{y}i) & \text{if } i \in \mathcal{V}{\text{affected}} \ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

• 参数更新：
  使用优化器（如Adam）仅更新有梯度的参数：
  $$ W \leftarrow W - \eta \nabla_W \mathcal{L}{\text{incremental}}, \quad a \leftarrow a - \eta \nabla_a \mathcal{L}{\text{incremental}} $$ 其中 $\eta$ 为较小的学习率（防止过拟合）。

(4) 注意力权重的动态适应

GAT的注意力机制会自动适应新邻居：

3. 适用场景

• 低频变化：如社交网络每天新增少量边、论文引用网络月度更新。
• 局部变化：每次变化仅影响图中少量节点（<10%）。

若邻居高频变化（如秒级更新），需改用动态GNN（如TGAT）或时间序列建模。

EvolveGCN

EvolveGCN-H

1. EvolveGCN-H核心思想

EvolveGCN-H 通过 GRU（门控循环单元） 动态更新 GCN 每一层的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 GRU 的 隐藏状态，并利用当前时间步的 节点嵌入（特征） 作为输入来驱动演化。
关键特点：

• 输入依赖：利用节点嵌入 $H_t^{(l)}$ 指导权重更新。
• 时序建模：通过 GRU 隐式捕捉参数演化的长期依赖。

2. 动态更新流程（以第 $l$ 层为例）

输入：

1. 当前节点嵌入矩阵 $H_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{n \times d}$：
2. 上一时间步的权重矩阵 $W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$：
3. 邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$：

输出：

1. 更新后的权重矩阵 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。
2. 下一层节点嵌入 $H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}$。

3. 动态更新示意图

Time Step t-1                          Time Step t
+-------------------+                 +-------------------+
|  Weight Matrix    |                 |  Weight Matrix    |
|    W_{t-1}^{(l)}  |  --(GRU更新)--> |    W_t^{(l)}      |
+-------------------+                 +-------------------+
         ^                                      ^
         |                                      |
+-------------------+                 +-------------------+
|  Node Embeddings  |                 |  Node Embeddings |
|    H_t^{(l)}      |  --(GCN计算)--> |    H_t^{(l+1)}    |
+-------------------+                 +-------------------+
         ^                                      ^
         |                                      |
+-------------------+                 +-------------------+
|  邻接矩阵 A_t     |                 |  邻接矩阵 A_{t+1} |
| (显式输入)        |                 | (下一时间步输入)  |
+-------------------+                 +-------------------+

4. 具体步骤分解

步骤 1：节点嵌入聚合（Summarize）

由于 GRU 的输入需与隐藏状态 $W_{t-1}^{(l)}$ 的列维度匹配（即 $d'$），需将 $H_t^{(l)}$ 从 $n \times d$ 压缩为 $d' \times d$ ：

将会舍弃部分节点

实现方式（论文方案）：

1. 计算得分：
   $$ y_t = H_t^{(l)} p / |p| \quad (p \in \mathbb{R}^d \text{为可学习参数}) $$ 学一个“打分器”参数 $p$，$H_t^{(l)} p$相当于对每个节点的嵌入向量和 $p$做点积，得到一个分数。比如在社交网络中，$p$ 可能代表“活跃度”，得分高的用户更活跃。

2. 选取 Top-$d'$ 个节点（按 $y_t$ 排序），加权求和：
   $$ Z_t = [H_t^{(l)} \circ \tanh(y_t)]_{\text{top-}d'} \quad (\circ \text{为逐元素乘}) $$

   • 输出 $Z_t \in \mathbb{R}^{d' \times d}$。

举个例子

假设：

• 有3个节点（$n=3$），嵌入维度 $d=2$，选Top-2个节点（$d'=2$）。

• 节点嵌入：
  $$ H_t^{(l)} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \ 0.3 & 2 \ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad p = [1, 0] $$

  （$p$ 只关注嵌入的第一维，比如“用户发帖数量”）

1. 计算分数：
   $$ y_t = H_t^{(l)} p = [1 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0, \ 0.3 \cdot 1 + 2 \cdot 0, \ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0] = [1, 0.3, -1] $$

   Top-2节点是第1、第2个节点（分数1和0.3）。

2. 加权聚合：
   $$ Z_t = \begin{bmatrix} [1, 0.5] \circ \tanh(1) \ [0.3, 2] \circ \tanh(0.3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.76 & 0.38 \ 0.09 & 0.58 \end{bmatrix} $$ （假设 $\tanh(1) \approx 0.76$, $\tanh(0.3) \approx 0.29$）

3. 输出：$Z_t$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，可以直接喂给GRU。

步骤 2：GRU 更新权重矩阵

标准GRU的输入、隐藏、输出都是向量，但这里都是矩阵！

当前时间步的输入：$Z_t^T$

上一时间步的隐藏状态：$W_{t-1}^{(l)}$

更新隐藏状态： $W_t^{(l)}$

GRU 的矩阵形式计算：

1. 重置门 $R_t$：控制历史信息的遗忘程度
   $$ R_t = \sigma(Z_t^T W_Z + W_{t-1}^{(l)} U_Z + B_Z) $$

2. 更新门 $Z_t$：控制新旧状态混合比例
   $$ U_t = \sigma(Z_t^T W_U + W_{t-1}^{(l)} U_U + B_U) $$

3. 候选状态 $\widetilde{W}_t$：
   $$ \widetilde{W}t = \tanh(Z_t^T W_H + (R_t \circ W{t-1}^{(l)}) U_H + B_H) $$

4. 最终权重更新：
   $$ W_t^{(l)} = (1 - U_t) \circ W_{t-1}^{(l)} + U_t \circ \widetilde{W}_t $$

   • 输出 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。

步骤 3：GCN 生成下一层嵌入

使用更新的 $W_t^{(l)}$ 执行标准 GCN 操作：

• $\widehat{A}_t$ 为归一化邻接矩阵（含自环）。

5. 关键设计细节

1. 权重共享：
   • 所有时间步共享同一 GRU 的参数（$W_, U_, B_*$），确保模型尺寸不随时间增长。
2. 层独立性：
   • 每一层 GCN 的权重矩阵独立演化（不同层有各自的 GRU）。
3. 特征与结构的协同：
   • 节点嵌入 $H_t^{(l)}$ 既包含特征信息，也隐含历史结构信息（通过多层 GCN 传播），因此 GRU 能间接感知结构变化。

6. 所需提前训练的权重

EvolveGCN-O

1. 核心思想

EvolveGCN-O 通过 LSTM 直接演化 GCN 的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 LSTM的输出（下一时间步的输入），不依赖节点嵌入。
关键特点：

• 结构驱动：仅通过历史权重 $W_{t-1}^{(l)}$ 预测当前权重，完全基于图结构的动态变化。
• 轻量化：无需处理节点嵌入，计算效率更高。

2. 动态更新流程（第$l$层）

输入：

1. 上一时间步权重 $W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$
2. 邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$（仅用于GCN计算）

输出：

1. 更新后权重 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$
2. 下一层节点嵌入 $H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}$

3.具体步骤分解

步骤1：LSTM更新权重矩阵

矩阵版LSTM计算：

1. 遗忘门：
   $F_t = \sigma(W_F W_{t-1}^{(l)} + U_F C_{t-1} + B_F)$
2. 输入门：
   $I_t = \sigma(W_I W_{t-1}^{(l)} + U_I C_{t-1} + B_I)$
3. 候选状态：
   $\widetilde{C}t = \tanh(W_C W{t-1}^{(l)} + U_C C_{t-1} + B_C)$
4. 细胞状态更新：
   $C_t = F_t \circ C_{t-1} + I_t \circ \widetilde{C}_t$
5. 输出门：
   $O_t = \sigma(W_O W_{t-1}^{(l)} + U_O C_{t-1} + B_O)$
6. 最终权重输出：
   $W_t^{(l)} = O_t \circ \tanh(C_t)$

步骤2：GCN生成下一层嵌入

$H_t^{(l+1)} = \sigma(\widehat{A}_t H_t^{(l)} W_t^{(l)})$

4. 与EvolveGCN-H对比

TGAT

Bochner定理

Bochner定理为TGAT的连续时间编码提供了理论基础，使其能够将任意时间差映射为可学习的向量表示，从而在动态图中有效捕捉时序依赖。这一方法超越了传统离散编码的局限性，是TGAT的核心创新之一。

时间编码的构造

（1）Bochner 定理的数学形式

根据Bochner定理，任意正定时间核函数 $ f(\Delta t) $ 可表示为：

（2）蒙特卡洛近似 & 实值化

由于直接计算期望复杂，TGAT 用蒙特卡洛采样近似：

1. 从分布 $\mu$ 中采样 $d$ 个频率 $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_k$。

2. 用这些频率构造实值编码（取复指数的实部和虚部，即 $\cos$ 和 $\sin$）：
   $$ \Phi_d(\Delta t) = \frac{1}{\sqrt d}\bigl[\cos(\omega_1 \Delta t),\sin(\omega_1 \Delta t),\dots,\cos(\omega_d \Delta t),\sin(\omega_d \Delta t)\bigr] $$ 这样就把时间差转成了一个长度为 $2d$ 的实值向量。

例子

取 $d=1$（此时时间编码向量就是二维的），有

例如，若我们令 $\omega_1=1$ 且 $\Delta t = \pi/3$，那么

所以在这个例子里，二维时间编码就是 $\bigl[0.5,;0.866]$。

为什么这样设计？

• 普通的图神经网络即使有时间戳，也只能把它当作一个离散特征，很难推广到模型没见过的时刻。TGAT通过把相对时间差 $\Delta t$ 映射成一组连续、周期性的函数值 $(\cos(\omega_1 \Delta t),\sin(\omega_1 \Delta t))$,让模型天然具备处理任意实数时间差的能力。
• 用一堆正余弦函数来编码时间，使得时间特征是平滑连续的
• 节点对邻居信息的关注度不仅由节点特征决定，也由时间编码决定。模型可以自动学出“距离现在越近的交互越重要”“一周前的活动强度要比一个月前的活动强度高”之类的规律。
• 可学习性：频率参数{ωᵢ}可以通过训练优化（例如让模型自动学习“短期交互”和“长期交互”的不同时间尺度）。

需要维护的数据：

1. 全量事件日志（事件流）
   整个动态图被表示成一条“事件流”──每一条事件是一个三元组
   $$ (u, v, t) $$ 表示节点 $u$ 和节点 $v$ 在时刻 $t$ 上发生了一次交互。训练／推断时，TGAT 会遍历这条有时间戳的边列表，按时间顺序对每个目标节点做消息聚合。

2. 每个节点的历史邻居列表
   为了快速地找到“截止当前时刻 $t$，某节点 $v$ 最近接触过哪些节点”，TGAT 通常会为每个节点维护一个按时间排序的邻居列表：
   $$ \mathit{Nbrs}(v) ;=; [(u_1,t_1),,(u_2,t_2),,\dots] $$ 其中每个 $(u_i, t_i)$ 表示节点 $u_i$ 在时间 $t_i$ 与 $v$ 交互过。这样，给定当前时间 $t$，就可以高效地检索出所有满足 $t_i < t$ 的历史交互。

3. 每层的节点隐藏状态
   TGAT 是一个多层（multi-layer）注意力网络，在第 $l$ 层它会产生每个节点在各个时间点的隐藏表示
   $$ \tilde h_v^{(l)}(t),. $$ 为了在更高层次继续聚合，这些中间表示需要被缓存下来，至少要保存上一次（前一层）计算出的向量，才能和后续的时间编码一起拼接、送入下一层注意力。

4. 时间编码的频率参数
   TGAT 中的 ${\omega_k}_{k=1}^d$（映射 $\Delta t\mapsto [\cos(\omega_k\Delta t),\sin(\omega_k\Delta t)]$ 用的频率向量）是模型的可学习参数，也需要存储。

工作原理

1.检索时间邻居

从事件流中取出所有在 $t$ 之前与 $v_0$ 有过交互的节点集合以及交互的时间 $t_i$。

（1）时间窗口截断

• 仅保留目标时间 $t$ 的最近 $\Delta T$ 时间内的交互节点（例如过去7天的邻居）。

• 数学表达：
  $$ \mathcal{N}(v_0; t) = { v_i \mid (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t - \Delta T \leq t_i < t } $$

（2）邻居采样（Neighborhood Sampling）

• 即使在一个时间窗口内，如果邻居数量过多（例如社交网络中的活跃用户），TGAT会随机采样固定数量的邻居（如最多20个）。

2.准备输入特征＋时间编码

在 TGAT 模型中，每一层都需要计算隐藏表示：

在第 $l$ 层里，既要计算目标节点 $v_0$ 在当前时刻 $t$ 的隐藏表示 $\tilde{h}_0^{(l-1)}(t)$，也要计算它的每个邻居 $v_i$ 在各自交互时刻 $t_i$ 的隐藏表示 $\tilde{h}_i^{(l-1)}(t_i)$。

• 若 $l=1$，则将原始静态特征 $x_i$ 作为第 0 层隐藏表示 $\tilde h_i^{(0)}(t_i)$；
• 若 $l>1$，则使用第 $(l-1)$ 层计算出的隐藏表示 $\tilde h_i^{(l-1)}(t_i)$。
  对每个邻居 $v_i$ 计算相对时间差 $\Delta t_i = t - t_i$，再通过

得到长度为 $2d$ 的时间编码向量。对目标节点自身，使用 $\Delta t=0$ 的时间编码。

3.拼接构建"实体—时间"矩阵

其中 $\Delta t_i=t-t_i$ ，这里 $v_0$ 一共有 $N$ 个节点。可能存在同一时间有多个交互的节点。

4. 线性映射到 Query/Key/Value

分别用三组可学习的线性变换把 $Z(t)$ 投影出

5.计算注意力权重

对每个邻居 $i$ 计算

6.加权求和生成聚合向量

7.与目标节点静态特征融合并通过 FFN

把聚合向量 $h^{(l)}(t)$ 和目标节点的原始特征 $x_0$ 拼接，送入两层前馈网络：

FFN 并不是只在最后一层使用，而是在每一层注意力聚合后都要执行，以产生该层的节点时刻表示。

8.多头与多层堆叠

• 如果使用多头注意力，则在步骤 4–6 中并行做 $k$ 组不同投影，得出 ${h^{(l,i)}(t)}_{i=1}^k$，再将它们拼接后送入 FFN；
• 堆叠 $L$ 层上述流程，就能把多跳（$L$ 跳）邻居信息聚合进来。

总结：每个节点，动态融合节点自身及其邻居在不同时间点的嵌入，其中这些嵌入都显式编码了时间信息。

不同层之间的嵌入维度可以不同，但同一层内所有时间步的嵌入维度必须保持一致。

举例

假设目标节点 $v_0$ 在时间 $t=10$ 需要聚合历史邻居，其中：

$t=10$时$v_0$的特征：$\tilde{h}_0(t=10)=[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]$

• 在时间 $t_1=8$，$v_0$ 与邻居 ${v_{1}, v_{2}}$ 交互。

  • $v_1$ 的特征：$\tilde{h}_1(t=8) = [0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]$

  • $v_2$ 的特征：$\tilde{h}_2(t=8) = [0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6]$

• 在时间 $t_2=5$，$v_0$ 与邻居 ${v_{3}}$ 交互。

  • $v_3$ 的特征：$\tilde{h}_3(t=5) = [1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5]$

时间编码（$d_T=2$, $\omega_1=1$）：

• $\Phi_{d_T}(10-8=2) = [\cos(2), \sin(2)] \approx [-0.42, 0.91]$
• $\Phi_{d_T}(10-5=5) = [\cos(5), \sin(5)] \approx [0.28, -0.96]$
• $\Phi_{d_T}(0) = [1, 0]$

将每个邻居的特征与对应时间编码拼接：

注意力权重计算:

1.投影矩阵参数（简化示例，设 $d_h = 3$,真实情况由训-练得来）：

• Query（目标节点 $v_0$）：

• Keys（邻居节点）： $$ K(10) = [Z(10)]_{1:3} W_K = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.7 & 0.8 & 0.9 & 1.0 & -0.42 & 0.91 \ 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & -0.42 & 0.91 \ 1.1 & 1.2 & 1.3 & 1.4 & 1.5 & 0.28 & -0.96 \end{bmatrix} \cdot W_K = \begin{bmatrix} 3.22 & 3.68 & 4.14 \ 1.82 & 2.18 & 2.54 \ 4.18 & 4.64 & 5.10 \end{bmatrix} $$

• Values（邻居节点）： $$ V(10) = [Z(10)]_{1:3} W_V = \begin{bmatrix} 3.52 & 3.92 & 4.32 \ 2.12 & 2.42 & 2.72 \ 4.48 & 4.88 & 5.28 \end{bmatrix} $$

3.计算注意力权重

• 计算未归一化分数（缩放因子 $\sqrt{d_h} = \sqrt{3} \approx 1.732$）：

• Softmax 归一化： $$ \alpha = \text{softmax}([18.46, 10.56, 21.40]) = [2.4 \times 10^{-2}, 1.6 \times 10^{-5}, 0.976] $$

4.加权求和生成聚合向量

1.拼接操作

FFN 包含两层：

需提前训练的参数

每个节点运行的模型是一样的QKV这些参数都是一样的。

运行过程中这些训练好的参数不会变化，模型的动态性体现在：

• 维护全局事件流；当新的边 $(u, v, t)$ 加入或旧的边变得不再被采样时，下一次你对某个节点做推理时，检索到的邻居集合就不一样；
• 时间编码会根据新的 $\Delta t$ 动态计算；
• 注意力权重 $\alpha_i$ 会重新分配，FFN 也会基于新的聚合结果给出新的输出。

节点是否需要交互（是否需要全局信息）

• 如果节点仅关注自己的特征更新以及任务，仅需维护：

  从事件流中取出所有在 $t$ 之前与 $v_0$ 有过交互的节点集合以及交互的时间 $t_i$。 $$ \mathcal{N}(v_0; t) = { v_i \mid \exists (v_0, v_i, t_i) \in \mathcal{E}, t_i < t } $$

• 如果节点还关注其他节点的特征更新及任务，需要知道全局事件流 (若干时刻邻接矩阵转化而来)