小论文

1.背景意义这边需要改。

2.卡尔曼滤波这边，Q、R不明确 / 真实若干时刻的测量值可以是真实值；但后面在线预测的时候仍然传的是真实值，事实上无法获取=》 考虑用三次指数平滑，对精确重构出来的矩阵谱分解，得到的特征值作为'真实值'，代入指数平滑算法中进行在线更新，执行单步计算。

4.这块有问题，没提高秩性，没说除了ER模型外的移动模型如RWP

特征值精度预估

1. 噪声随机变量与协方差

说明：

• 在矩阵形式的 Kalman Filter 中，通常写作
  $$ w_k\sim\mathcal N(0,Q),\quad v_k\sim\mathcal N(0,R). $$

• 这里为做统计检验，把 $w_i, v_j$ 当作样本，$Q,R$ 就是它们在标量情况下的方差。

2. 样本统计量

定义：
$$ \bar w = \frac1{N_w}\sum_{i=1}^{N_w}w_i,\quad s_w^2 = \frac1{N_w-1}\sum_{i=1}^{N_w}(w_i-\bar w)^2, $$

$$ \bar v = \frac1{N_v}\sum_{j=1}^{N_v}v_j,\quad s_v^2 = \frac1{N_v-1}\sum_{j=1}^{N_v}(v_j-\bar v)^2. $$

3. 方差比的 $F$ 分布区间估计

1. 构造 $F$ 统计量
   $$ F = \frac{(s_w^2/Q)}{(s_v^2/R)} = \frac{s_w^2}{s_v^2},\frac{R}{Q} \sim F(N_w-1,,N_v-1). $$

2. 置信区间（置信度 $1-\alpha$）
   查得
   $$ F_{L}=F_{\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),\quad F_{U}=F_{1-\alpha/2}(N_w-1,N_v-1), $$ 则
   $$ \begin{align*} P\Big{F_{\rm L}\le F\le F_{\rm U}\Big}=1-\alpha \quad\Longrightarrow \quad P\Big{F_{\rm L},\le\frac{s_w^2}{s_v^2},\frac{R}{Q}\le F_{\rm U},\Big}=1-\alpha. \end{align*} $$

3. 解出 $\frac{R}{Q}$ 的区间
   $$ P\Bigl{,F_{L},\frac{s_v^2}{s_w^2}\le \frac{R}{Q}\le F_{U},\frac{s_v^2}{s_w^2}\Bigr}=1-\alpha. $$ 令
   $$ \theta_{\min}=\sqrt{,F_{L},\frac{s_v^2}{s_w^2},},\quad \theta_{\max}=\sqrt{,F_{U},\frac{s_v^2}{s_w^2},}. $$

4. 卡尔曼增益与误差上界

在标量情况下（即状态和观测均为1维），卡尔曼增益公式可简化为：

针对我们研究对象，特征值滤波公式的系数都属于实数域。$P_{k-1}$是由上次迭代产生，因此可以$FP_{k-1}F^T$看作定值，则$P_k$的方差等于$Q$的方差，即：

令 $c = H$, $m = 1/H$（满足 $cm = 1$），则：

则极值为

通过历史数据计算预测误差的均值：

量化噪声方差估计的不确定性，进而评估卡尔曼滤波器增益的可能波动，并据此给出滤波误差的上界.

指数平滑法

指数平滑法（Single Exponential Smoothing）

指数平滑法是一种对时间序列进行平滑和短期预测的简单方法。它假设近期的数据比更久之前的数据具有更大权重，并用一个平滑常数 $\alpha$（$0<\alpha\leq1$）来控制“记忆”长度。

• 平滑方程：
  $$ S_t = \alpha,x_t + (1-\alpha),S_{t-1} $$

  • $x_t$：时刻 $t$ 的实际值
  • $S_t$：时刻 $t$ 的平滑值（也可作为对 $x_{t+1}$ 的预测）
  • $S_1$ 的初始值一般取 $x_1$

• 举例：
  假设一产品过去 5 期的销量为 $[100,;105,;102,;108,;110]$，取 $\alpha=0.3$，初始平滑值取 $S_1=x_1=100$：

  1. $S_2=0.3\times105+0.7\times100=101.5$
  2. $S_3=0.3\times102+0.7\times101.5=101.65$
  3. $S_4=0.3\times108+0.7\times101.65\approx103.755$
  4. $S_5=0.3\times110+0.7\times103.755\approx106.379$

  因此，对第 6 期销量的预测就是 $S_5\approx106.38$。

二次指数平滑法（Holt’s Linear Method）

当序列存在趋势（Trend）时，单次平滑会落后。二次指数平滑（也称 Holt 线性方法）在单次平滑的基础上，额外对趋势项做平滑。

• 水平和趋势平滑方程：
  $$ \begin{cases} L_t = \alpha,x_t + (1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1}), \[6pt] T_t = \beta,(L_t - L_{t-1}) + (1-\beta),T_{t-1}, \end{cases} $$

  • $L_t$：水平（level）
  • $T_t$：趋势（trend）
  • $\alpha, \beta$：平滑常数，通常 $0.1$–$0.3$

• 预测公式：
  $$ \hat{x}_{t+m} = L_t + m,T_t $$ 其中 $m$ 为预测步数。

• 举例：
  用同样的数据 $[100,105,102,108,110]$，取 $\alpha=0.3,;\beta=0.2$，初始化：

  • $L_1 = x_1 = 100$
  • $T_1 = x_2 - x_1 = 5$

  接下来计算：

  1. $t=2$：
     $$ L_2=0.3\times105+0.7\times(100+5)=0.3\times105+0.7\times105=105 $$

     $$ T_2=0.2\times(105-100)+0.8\times5=0.2\times5+4=5 $$

  2. $t=3$：
     $$ L_3=0.3\times102+0.7\times(105+5)=0.3\times102+0.7\times110=106.4 $$

     $$ T_3=0.2\times(106.4-105)+0.8\times5=0.2\times1.4+4=4.28 $$

  3. $t=4$：
     $$ L_4=0.3\times108+0.7\times(106.4+4.28)\approx0.3\times108+0.7\times110.68\approx110.276 $$

     $$ T_4=0.2\times(110.276-106.4)+0.8\times4.28\approx0.2\times3.876+3.424\approx4.199 $$

  4. $t=5$：
     $$ L_5=0.3\times110+0.7\times(110.276+4.199)\approx0.3\times110+0.7\times114.475\approx112.133 $$

     $$ T_5=0.2\times(112.133-110.276)+0.8\times4.199\approx0.2\times1.857+3.359\approx3.731 $$

  预测第 6 期 ($m=1$)：
  $$ \hat{x}_6 = L_5 + 1\times T_5 \approx 112.133 + 3.731 = 115.864 $$

小结

• 单次指数平滑适用于无明显趋势的序列，简单易用。
• 二次指数平滑（Holt 方法）在水平外加趋势成分，适合带线性趋势的数据，并可向未来多步预测。

通过选择合适的平滑参数 $\alpha,\beta$ 并对初值进行合理设定，即可在实践中获得较好的短期预测效果。

三次指数平滑法概述

三次指数平滑法在二次（Holt）方法的基础上又加入了对季节成分的平滑，适用于同时存在趋势（Trend）和季节性（Seasonality）的时间序列。

主要参数及符号

• $m$：季节周期长度（例如季度数据 $m=4$，月度数据 $m=12$）。
• $\alpha, \beta, \gamma$：水平、趋势、季节三项的平滑系数，均在 $(0,1]$ 之间。
• $x_t$：时刻 $t$ 的实际值。
• $L_t$：时刻 $t$ 的水平（level）平滑值。
• $B_t$：时刻 $t$ 的趋势（trend）平滑值。
• $S_t$：时刻 $t$ 的季节（seasonal）成分平滑值。
• $\hat x_{t+h}$：时刻 $t+h$ 的 $h$ 步预测值。

平滑与预测公式（加法模型）

• 加法模型 适用于季节波动幅度与水平无关的情况；
• 乘法模型 则把"$x_t - S_{t-m}$"改为"$x_t / S_{t-m}$"、"$S_t$"改为"$\gamma,(x_t/L_t)+(1-\gamma),S_{t-m}$"并在预测中用乘法。

计算示例

假设我们有一个周期为 $m=4$ 的序列，前 8 期观测值：

• $L_0 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_i = \tfrac{110+130+150+95}{4}=121.25$.

• 趋势初值
  $$ B_0 = \frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^m (x_{m+i}-x_i) = \frac{(120-110)+(140-130)+(160-150)+(100-95)}{4\cdot4} = \frac{35}{16} \approx 2.1875. $$

• 季节初值 $S_i = x_i - L_0$，即
  $[-11.25,;8.75,;28.75,;-26.25]$ 对应 $i=1,2,3,4$。

下面我们演示第 5 期（$t=5$）的更新与对第 6 期的预测。

解读：

1. 期 5 时，剔除上周期季节影响后平滑得到新的水平 $L_5$；
2. 由水平变化量给出趋势 $B_5$；
3. 更新第 5 期的季节因子 $S_5$；
4. 期 6 的一步预测综合了最新水平、趋势和对应的季节因子，得 $\hat x_6\approx139.45$。

总结思考

• 如果你把预测值 $\hat x_{t+1}$ 当作"新观测"再去更新状态，然后再预测 $\hat x_{t+2}$，这种"预测—更新—预测"的迭代方式会让模型把自身的预测误差也当作输入，不断放大误差。
• 正确做法是——在时刻 $t$ 得到 $L_t,B_t,S_t$ 后，用上面的直接公式一次算出所有未来 $\hat x_{t+1},\hat x_{t+2},\dots$，这样并不会"反馈"误差，也就没有累积放大的问题。

或者，根据精确重构出来的矩阵谱分解，得到的特征值作为'真实值'，进行在线更新，执行单步计算。

实时估计 为什么不用AI 能做预测 ，对于完全随机网络没有用 复杂度高 需要数据训练 算力时间

图神经

可以搞多维特征

AI对结构预测不准， 特征

为什么要等随机网络稳定？这里其实是一个假设，稳定下来：RWP 在足够长时间后满足 Birkhoff 点态遍历定理，节点的取样分布趋于稳态，并且对每个时刻都是同分布！！！然后可以应用那个结论。