强化学习

Q-learning

核心更新公式

一般示例

环境设定

• 状态集合：${S_1, S_2}$
• 动作集合：${a_1, a_2}$
• 转移与奖励：
  • 在 $S_1$ 选 $a_1$ → 获得 $r=5$，转到 $S_2$
  • 在 $S_1$ 选 $a_2$ → 获得 $r=0$，转到 $S_2$
  • 在 $S_2$ 选 $a_1$ → 获得 $r=0$，转到 $S_1$
  • 在 $S_2$ 选 $a_2$ → 获得 $r=1$，转到 $S_1$

超参数：$\alpha=0.5$，$\gamma=0.9$
初始化：所有 $Q(s,a)=0$

在 Q-Learning 里，智能体并不是“纯随机”地走，也不是“一开始就全凭 Q 表拿最高值”——而是常用一种叫 $\epsilon$-greedy 的策略来平衡：

• 探索（Exploration）：以概率 $\epsilon$（比如 10%）随机选一个动作，帮助智能体发现还没试过、可能更优的路径；
• 利用（Exploitation）：以概率 $1-\epsilon$（比如 90%）选当前状态下 Q 值最高的动作，利用已有经验最大化回报。

下面按序进行 3 步“试—错”更新，并在表格中展示每一步后的 $Q$ 值。

• 第1步：从 $S_1$ 选 $a_1$，立即回报5，更新后 $Q(S_1,a_1)=2.5$。
• 第2步：从 $S_2$ 选 $a_2$，回报1，加上对 $S_1$ 后续最优值的 $0.9$ 折扣，得到 $1+0.9\times2.5=3.25$，更新后 $Q(S_2,a_2)=1.625$。
• 第3步：再一次在 $S_1$ 选 $a_1$，这次考虑了 $S_2$ 的最新估值，最终把 $Q(S_1,a_1)$ 提升到约 4.481。

通过这样一步步的“试—错 + 贝尔曼更新”，Q-Learning 能不断逼近最优 $Q^*(s,a)$，从而让智能体在每个状态都学会选出长期回报最高的动作。

训练结束后，表里每个状态 $s$ 下各动作的 Q 值都相对准确了，我们就可以直接读表来决策：

DQN

核心思想：用深度神经网络近似 Q 函数来取代表格，在高维输入上直接做 Q-learning，并通过 经验回放（写进缓冲区 + 随机抽样训练”） + 目标网络（Target Network） 两个稳定化技巧，使 时序差分（TD ）学习在非线性函数逼近下仍能收敛。

TD 学习 = 用“即时奖励 + 折扣后的未来估值”作为目标，通过 TD 误差持续修正当前估计。

训练过程

1. 初始化

1. 主网络（Online Network）

   • 定义一个 Q 网络 $Q(s,a;\theta)$，随机初始化参数 $\theta$。

2. 目标网络（Target Network）

   • 复制主网络参数，令 $\theta^- \leftarrow \theta$。
   • 目标网络用于计算贝尔曼目标值，短期内保持不变。

3. 经验回放缓冲区（Replay Buffer）

   • 创建一个固定容量的队列 $\mathcal{D}$，用于存储交互样本 $(s,a,r,s')$。

4. 超参数设置

   • 学习率 $\eta$
   • 折扣因子 $\gamma$
   • ε-greedy 探索率 $\epsilon$（初始值）
   • 最小训练样本数阈值 $N_{\min}$
   • 每次训练的小批量大小 $B$
   • 目标网络同步频率 $C$（梯度更新次数间隔）

2. 与环境交互并存储经验

在每个时间步 $t$：

1. 动作选择
   $$ a_t = \begin{cases} \text{随机动作} & \text{以概率 }\epsilon,\ \arg\max_a Q(s_t,a;\theta) & \text{以概率 }1-\epsilon. \end{cases} $$

2. 环境反馈
   执行动作 $a_t$，得到奖励 $r_t$ 和下一个状态 $s_{t+1}$。 （需预先定义奖励函数）

3. 存入缓冲区
   将元组 $(s_t, a_t, r_t, s_{t+1})$ 存入 Replay Buffer $\mathcal{D}$。
   如果 $\mathcal{D}$ 已满，则丢弃最早的样本。

3. 批量随机采样并训练

当缓冲区样本数 $\ge N_{\min}$ 时，每隔一次或多次环境交互，就进行一次训练更新：

1. 随机抽取小批量
   从 $\mathcal{D}$ 中随机采样 $B$ 条过往经验：
   $$ {(s_i, a_i, r_i, s'i)}{i=1}^B $$

2. 计算贝尔曼目标
   对每条样本，用目标网络 $\theta^-$ 计算：
   $$ y_i = r_i + \gamma \max_{a'}Q(s'_i, a'; \theta^-) $$ 算的是：当前获得的即时奖励 $r_i$，加上“到了下一个状态后，做最优动作所能拿到的最大预期回报”

3. 预测当前 Q 值
   将当前状态-动作对丢给主网络 $\theta$，得到预测值：
   $$ \hat Q_i = Q(s_i, a_i;\theta) $$ 算的是：在当前状态 $s_i$、选了样本里那个动作 $a_i$ 时，网络现在估计的价值

4. 构造损失函数
   均方误差（MSE）损失：
   $$ L(\theta) = \frac{1}{B}\sum_{i=1}^B\bigl(y_i - \hat Q_i\bigr)^2 $$

5. 梯度下降更新主网络
   $$ \theta \gets \theta - \eta \nabla_\theta L(\theta) $$

4. 同步/软更新目标网络

• 硬同步（Fixed Target）：
  每做 $C$ 次梯度更新，就执行
  $$ \theta^- \gets \theta $$

• （可选）软更新：
  用小步长 $\tau\ll1$ 平滑跟踪：
  $$ \theta^- \gets \tau \theta + (1-\tau) \theta^-. $$

5. 重复训练直至收敛

• 重复步骤 2-4 直至满足终止条件（如最大回合数或性能指标）。
• 训练过程中可逐步衰减 $\epsilon$（ε-greedy），从更多探索过渡到更多利用。

示例

假设设定

• 动作空间：两个动作 ${a_1,a_2}$。

• 状态向量维度：2 维，记作 $s=(s_1,s_2)$。

• 目标网络结构（极简线性网络）：
  $$ Q(s;\theta^-) = W^-s + b^-, $$

  • $W^-$ 是 $2\times2$ 的权重矩阵 （行数为动作数，列数为状态向量维数）
  • $b^-$ 是长度 2 的偏置向量

• 网络参数（假定已初始化并被冻结）： $$ W^- = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.2\ 0.1 & ;0.3 \end{pmatrix},\quad b^- = \begin{pmatrix}0.1\-0.1\end{pmatrix}. $$

• 折扣因子 $\gamma=0.9$。

样本数据

假设我们抽到的一条经验是

• 当前状态 $s_i=(0.0,1.0)$，当时选了动作 $a_1$ 并得到奖励 $r_i=2$。
• 到达新状态 $s'_i=(1.5,-0.5)$。

计算过程

1. 前向计算目标网络输出
   $$ Q(s'_i;\theta^-) = W^-,s'_i + b^-

   \begin{pmatrix} 0.5 & -0.2\ 0.1 & ;0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1.5\-0.5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0.1\-0.1\end{pmatrix}

   \begin{pmatrix} 0.5\cdot1.5 + (-0.2)\cdot(-0.5) + 0.1 \[4pt] 0.1\cdot1.5 + ;0.3\cdot(-0.5) - 0.1 \end{pmatrix}

   \begin{pmatrix} 0.75 + 0.10 + 0.1 \[3pt] 0.15 - 0.15 - 0.1 \end{pmatrix}

   \begin{pmatrix} 0.95 \[3pt] -0.10 \end{pmatrix}. $$ 因此， $$ Q(s'_i,a_1;\theta^-)=0.95,\quad Q(s'_i,a_2;\theta^-)= -0.10. $$

2. 取最大值
   $$ \max_{a'}Q(s'_i,a';\theta^-) = \max{0.95,,-0.10} = 0.95. $$

3. 计算目标 $y_i$
   $$ y_i = r_i + \gamma \times 0.95 = 2 + 0.9 \times 0.95 = 2 + 0.855 = 2.855. $$

这样，我们就得到了 DQN 中训练主网络时的"伪标签"
$y_i=2.855$，后续会用它与主网络预测值 $Q(s_i,a_i;\theta)$ 计算均方误差，进而更新 $\theta$。

改进DQN：

一、构造 n-step Transition

1. 维护一个长度为 n 的滑动队列

   • 每步交互（状态 → 动作 → 奖励 → 新状态）后，都向队列里添加这条"单步经验"。
   • 当队列中积累到 n 条经验时，就可以合并成一条"n-step transition"了。

2. 合并过程（一步一步累加）

   • 起始状态：取队列里第 1 条记录中的状态 $s_t$

   • 起始动作：取第 1 条记录中的动作 $a_t$

   • 累积奖励：把队列中前 n 条经验的即时奖励按折扣因子 $\gamma$ 一步步加权累加：
     $$ G_t^{(n)} = r_t + \gamma,r_{t+1} + \gamma^2,r_{t+2} + \cdots + \gamma^{n-1}r_{t+n-1} $$

3. 形成一条新样本
   最终你得到一条合并后的样本： $$ \bigl(s_t,;a_t,;G_t^{(n)},;s_{t+n},;\text{done}_{t+n}\bigr) $$ 然后把它存入主 Replay Buffer。
   接着，把滑动队列的最早一条经验丢掉，让它向前滑一格，继续接收下一步新经验。

二、批量随机采样与训练

1. 随机抽取 n-step 样本

   • 训练时，不管它是来自哪一段轨迹，都从 Replay Buffer 里随机挑出一批已经合好的 n-step transition。
   • 每条样本就封装了"从 $s_t$ 出发，执行 $a_t$，经历 n 步后所累积的奖励加 bootstrap"以及到达的末状态。

2. 计算训练目标

   对于每条抽出的 n-step 样本
   $(s_t,a_t,G_t^{(n)},s_{t+n},\text{done}_{t+n})$，

   • 如果 $\text{done}{t+n}=\text{False}$，则
     $$ y = G_t^{(n)} + \gamma^n,\max{a'}Q(s_{t+n},a';\theta^-); $$

   • 如果 $\text{done}_{t+n}=\text{True}$，则
     $$ y = G_t^{(n)}. $$

3. 主网络给出预测

   • 把样本中的起始状态-动作对 $(s_t,a_t)$ 丢给在线的 Q 网络，得到当前估计的 $\hat{Q}(s_t,a_t)$。

4. 更新网络

   • 用"目标值 $y$"和"预测值 $\hat{Q}$"之间的平方差，构造损失函数。
   • 对损失做梯度下降，调整在线网络参数，使得它的预测越来越贴近那条合并后的真实回报。

VDN

核心思路：将团队 Q 函数写成各智能体局部 Q 的线性和 $Q_{tot}=\sum_{i=1}^{N}\tilde{Q}_i$，在训练时用全局奖励反传梯度，在执行时各智能体独立贪婪决策。

CTDE 指 Centralized Training, Decentralized Execution —— 在训练阶段使用集中式的信息或梯度（可以看到全局状态、联合奖励、各智能体的隐藏变量等）来稳定、加速学习；而在执行阶段，每个智能体只依赖自身可获得的局部观测来独立决策。

采用 CTDE 的好处：

部署高效、可扩展：运行时每个体只需本地观测，无需昂贵通信和同步，适合大规模或通信受限场景。

降低非平稳性：每个智能体看到的“环境”里不再包含 其他正在同时更新的智能体——因为所有参数其实在同一次反向传播里被一起更新，整体策略变化保持同步；对单个智能体而言，环境动态就不会呈现出随机漂移。

避免“懒惰智能体”：只要某个行动对团队回报有正贡献，它在梯度里就能拿到正向信号，不会因为某个体率先学到高收益行为而使其他个体“无所事事”。

核心公式与训练方法

1. 值分解假设 $$ Q\bigl((h_1,\dots,h_d),(a_1,\dots,a_d)\bigr);\approx;\sum_{i=1}^{d},\tilde{Q}_i(h_i,a_i) $$

   其中 $h_i$ 为第 $i$ 个智能体的历史观测，$a_i$ 为其动作。每个 $\tilde{Q}_i$ 只使用局部信息；训练时通过对联合 $Q$ 的 TD 误差求梯度，再"顺着求和"回传到各 $\tilde{Q}_i$ 。这样既避免了为各智能体手工设计奖励，又天然解决了联合动作空间呈指数爆炸的问题。

2. Q-learning 更新 $$ Q_{t+1}(s_t,a_t);=;(1-\eta_t),Q_{t}(s_t,a_t);+;\eta_t\bigl[r_t+\gamma\max_{a}Q_{t}(s_{t+1},a)\bigr] $$

   论文沿用经典 DQN 的 Q-learning 目标，对 联合 Q 值 计算 TD 误差，然后按上式更新；全局奖励 $r_t$ 会在反向传播时自动分摊到各 $\tilde{Q}_i$ 。

训练过程

使用LSTM:让智能体在「只有局部、瞬时观测」的环境中记住并利用过去若干步的信息。

1. 初始化

网络骨架：Linear (32) → ReLU → LSTM (32) → Dueling (Value + Advantage) 头产生 $\widetilde Q_i$ 。

2. 与环境交互并存储经验

0. 局部隐藏状态更新（获得 $h_t^i$）

   • 采样观测
     $o_t^i \in \mathbb R^{3\times5\times5}$（RGB × 5 × 5 视野）
   • 线性嵌入 + ReLU
     $x_t^i = \mathrm{ReLU}(W_o,\text{vec}(o_t^i)+b_o),; W_o!\in!\mathbb R^{32\times75}$
   • 递归更新 LSTM
     $h_t^i,c_t^i = \text{LSTM}{32}(x_t^i,;h{t-1}^i,c_{t-1}^i)$
     （初始 $h_0^i,c_0^i$ 置零；执行期只用本体状态即可）

1. 动作选择（分散执行）
   $$ a_t^i=\begin{cases} \text{随机动作}, & \text{概率 } \varepsilon,\ \arg\max_{a}\widetilde Q_i(h_t^i,a;\theta_i), & 1-\varepsilon. \end{cases} $$

2. 环境反馈：执行联合动作 $\mathbf a_t$，获得单条 团队奖励 $r_t$ 以及下一组局部观测 $o_{t+1}^i$。

   • 重要：此处不要直接把 $h_{t+1}^i$ 写入回放池，而是存下 $(h_t^i, a_t^i, r_t, o_{t+1}^i)$。
     之后在训练阶段再用同样的“Step 0” 方式，离线地把 $o_{t+1}^i\rightarrow h_{t+1}^i$。
     这样可避免把梯度依赖塞进经验池。

3. 写入回放池：$(h_t, \mathbf a_t, r_t, o_{t+1}) \rightarrow \mathcal D$。

3. 批量随机采样并联合训练

对缓冲区达到阈值后，每次更新步骤：

1. 采样 $B$ 条长度为 $L$ 的序列。

   • 假设抽到第 $k$ 条序列的第一个索引是 $t$。

   • 依次取出连续的 $(h_{t+j}, a_{t+j}, r_{t+j}, o_{t+j+1}), j=0, \ldots, L-1$。

   • 先用存储的 $o_{t+j+1}$ 离线重放"Step 0"得到 $h_{t+j+1}$，这样序列就拥有 $(h_{t+j}, h_{t+j+1})$

2. 前向计算
   $$ \hat Q_i^{(k)} = \widetilde Q_i(h^{i,(k)}_t,a^{i,(k)}t;\theta_i), \quad \hat Q^{(k)}=\sum{i}\hat Q_i^{(k)} . $$

3. 贝尔曼目标（用目标网络）
   $$ y^{(k)} = r^{(k)} + \gamma \sum_{i}\max_{a}\widetilde Q_i(h^{i,(k)}_{t+1},a;\theta_i^-). $$

4. 损失
   $$ L=\frac1B\sum_{k=1}^{B}\bigl(y^{(k)}-\hat Q^{(k)}\bigr)^2 . $$

5. 梯度反传（自动信用分配）
   因为 $\hat Q=\sum_i\widetilde Q_i$，对每个 $\widetilde Q_i$ 的梯度系数恒为 1，
   整个 团队 TD 误差 直接回流到各体网络，无需个体奖励设计 。

6. 参数更新：$\theta_i \leftarrow \theta_i-\eta\nabla_{\theta_i}L$。

4. 同步 / 软更新目标网络

• 硬同步：每 $C$ 次梯度更新后执行 $\theta_i^- \leftarrow \theta_i$。
• 软更新：可选 $\theta_i^- \leftarrow \tau\theta_i+(1-\tau)\theta_i^-$。

5. 重复直到收敛

持续循环步骤 2–4，逐步衰减 $\varepsilon$。
训练完成后，每个体只需本地 $\widetilde Q_i$ 就能独立决策，与中心最大化 $\sum_i\widetilde Q_i$ 等价 。