线性代数

线性变换

每列代表一个基向量，行数代码这个基向量所张成空间的维度，二行三列表示二维空间的三个基向量。

• 二维标准基矩阵（单位矩阵）：
  $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | \ \mathbf{i} & \mathbf{j} \ | & | \end{bmatrix} $$

• 三维标准基矩阵（单位矩阵）：
  $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | & | \ \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ | & | & | \end{bmatrix} $$

矩阵乘向量

在 3blue1brown 的“线性代数的本质”系列中，他把矩阵乘向量的运算解释为线性组合和线性变换的过程。具体来说：

• 计算方法
  给定一个 $ m \times n $ 的矩阵 $ A $ 和一个 $ n $ 维向量 $ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T $，矩阵与向量的乘积可以表示为： $$ A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n $$ 其中，$\mathbf{a}_i$ 表示 $ A $ 的第 $ i $ 列向量。也就是说，我们用向量 $\mathbf{x}$ 的各个分量作为权重，对矩阵的各列进行线性组合。

  例如：矩阵 $ A $ 是一个二阶矩阵：

  $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$

  向量 $ \mathbf{x} $ 是一个二维列向量：

  $$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} $$

  可以将这个乘法看作是用 $ x $ 和 $ y $ 这两个数，分别对矩阵的两列向量进行加权：

  $$ A\mathbf{x} = x \cdot \begin{bmatrix} a \ c \end{bmatrix} + y \cdot \begin{bmatrix} b \ d \end{bmatrix} $$

  也就是说，矩阵乘向量的结果，是“矩阵每一列”乘以“向量中对应的分量”，再把它们加起来。

• 背后的思想

  1. 分解为基向量的组合：
     任何向量都可以看作是标准基向量的线性组合。矩阵 $ A $ 在几何上代表了一个线性变换，而标准基向量在这个变换下会分别被映射到新的位置，也就是矩阵的各列。

  2. 构造变换：
     当我们用 $\mathbf{x}$ 的分量对这些映射后的基向量加权求和时，就得到了 $ \mathbf{x} $ 在变换后的结果。这种方式不仅方便计算，而且直观地展示了线性变换如何“重塑”空间——每一列告诉我们基向量被如何移动，然后这些移动按比例组合出最终向量的位置。

矩阵乘矩阵

当你有两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，矩阵乘法 $ AB $ 实际上代表的是：

先对向量应用 $ B $ 的线性变换，再应用 $ A $ 的线性变换。

也就是说：

3blue1brown 的直觉解释：

矩阵 B：提供了新的变换后基向量

记住：矩阵的每一列，表示标准基向量 $ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 $ 在变换后的样子。

所以：

• $ B $ 是一个变换，它把空间“拉伸/旋转/压缩”成新的形状；
• $ A $ 接着又对这个已经变形的空间进行变换。

例：

• $ B $ 的列是：
  • $ \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} $ → 第一个标准基向量变形后的位置
  • $ \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix} $ → 第二个标准基向量变形后的位置

我们计算：

• $ A \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} $
• $ A \cdot \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \ 3 \end{bmatrix} $

所以：

这个新矩阵 $ AB $ 的列向量，表示标准基向量在经历了 “先 B 再 A” 的变换后，落在了哪里。

行列式

3blue1brown讲解行列式时，核心在于用几何直观来理解行列式的意义：

缩放比例！！！

体积（或面积）的伸缩因子 对于二维空间中的2×2矩阵，行列式的绝对值表示该矩阵作为线性变换时，对单位正方形施加变换后得到的平行四边形的面积。类似地，对于三维空间中的3×3矩阵，行列式的绝对值就是单位立方体变换后的平行六面体的体积。也就是说，行列式告诉我们这个变换如何“拉伸”或“压缩”空间。

方向的指示（有向面积或体积） 行列式不仅仅给出伸缩倍数，还通过正负号反映了变换是否保持了原来的方向（正）还是发生了翻转（负）。例如，在二维中，如果行列式为负，说明变换过程中存在翻转（类似镜像效果）。

变换的可逆性 当行列式为零时，说明该线性变换把空间压缩到了低维（例如二维变一条线，三维变成一个平面或线），这意味着信息在变换过程中丢失，变换不可逆。

逆矩阵、列空间、零空间

逆矩阵

逆矩阵描述了一个矩阵所代表的线性变换的**“反过程”**。假设矩阵 $A$ 对空间做了某种变换（比如旋转、拉伸或压缩），那么 $A^{-1}$ 就是把这个变换“逆转”，把变换后的向量再映射回原来的位置。

前提是$A$ 是可逆的，即它对应的变换不会把空间压缩到更低的维度。

秩

秩等于矩阵列向量（或行向量）所生成的空间的维数。例如，在二维中，如果一个 $2 \times 2$ 矩阵的秩是 2，说明这个变换把平面“充满”；如果秩为 1，则所有输出都落在一条直线上，说明变换“丢失”了一个维度。

列空间

列空间是矩阵所有列向量的线性组合所构成的集合（也可以说所有可能的输出向量$A\mathbf{x}$所构成的集合）。 比如一个二维变换的列空间可能是整个平面，也可能只是一条直线，这取决于矩阵的秩。

零空间

零空间（又称核、kernel）是所有在该矩阵作用（线性变换$A$）下变成零向量的输入向量的集合。

它展示了变换中哪些方向被“压缩”成了一个点（原点）。例如，在三维中，如果一个矩阵将所有向量沿某个方向压缩到零，那么这个方向构成了零空间。

零空间解释了$Ax=0$的解的集合，就是齐次的通解。如果满秩，零空间只有唯一解零向量。

求解线性方程

设线性方程组写作

• 如果 $\mathbf{b}$ 落在 $A$ 的列空间内，那么就存在解。解可能是唯一的（当矩阵满秩时）或无穷多（当零空间非平凡时）。
• 如果 $\mathbf{b}$ 不在列空间内，则说明 $\mathbf{b}$ 不可能由 $A$ 的列向量线性组合得到，这时方程组无解。
• 唯一解对应于所有这些几何对象在一点相交；
• 无限多解对应于它们沿着某个方向重合；
• 无解则说明这些对象根本没有公共交点。

基变换

新基下的变换矩阵 $A_C$ 为：

$P$：从原基到新基的基变换矩阵（可逆），$P$的每一列代表了新基中的一个基向量

$A$：线性变换 $T$ 在原基下的矩阵表示

原来空间中进行$A$线性变换等同于新基的视角下进行 $A_C$ 变换

点积、哈达马积

向量点积（Dot Product）

3blue1brown认为，两个向量的点乘就是将其中一个向量转为线性变换。

假设有两个向量

• 结果：
  点积的结果是一个标量（即一个数）。
• 几何意义：
  点积可以衡量两个向量的相似性，或者计算一个向量在另一个向量方向上的投影。

哈达马积（Hadamard Product）

• 定义：
  对于两个向量 $\mathbf{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n]$ 和 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$，它们的哈达马积定义为： $$ \mathbf{u} \circ \mathbf{v} = [u_1 v_1, u_2 v_2, \dots, u_n v_n]. $$

• 结果：
  哈达马积的结果是一个向量，其每个分量是对应位置的分量相乘。

• 几何意义：
  哈达马积通常用于逐元素操作，比如在神经网络中对两个向量进行逐元素相乘。

矩阵也有哈达马积！。

特征值和特征向量

设矩阵：

步骤 1：求特征值

构造特征方程：

解得：

步骤 2：求特征向量

• 对于 $\lambda_1 = 2$： 解方程：

从第一行 $x_2 = 0$。因此特征向量可以写成：

• 对于 $\lambda_2 = 3$： 解方程：

从第一行得 $-x_1 + x_2 = 0$ 或 $x_2 = x_1$。因此特征向量可以写成：

设一个对角矩阵：

对角矩阵的特征方程为：

因此特征值是：

• 对于 $\lambda_1 = d_1$，方程 $(D-d_1I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 得到：

若 $d_1 \neq d_2$，则必须有 $x_2=0$，而 $x_1$ 可任意取非零值，因此特征向量为：

• 对于 $\lambda_2 = d_2$，类似地解得：

矩阵乘法

全连接神经网络

其中：

• $a^{(0)}$ 是输入向量，表示当前层的输入。

• $\mathbf{W}$ 是权重矩阵，表示输入向量到输出向量的线性变换。

• $b$ 是偏置向量，用于调整输出。

• $\sigma$ 是激活函数（如 ReLU、Sigmoid 等），用于引入非线性。

• 输入向量 $a^{(0)}$：

这是一个 $n+1$ 维的列向量，表示输入特征。

• 权重矩阵 $\mathbf{W}$：

这是一个 $k \times (n+1)$ 的矩阵，其中 $k$ 是输出向量的维度，$n+1$ 是输入向量的维度。

• 偏置向量 $b$：

这是一个 $k$ 维的列向量，用于调整输出。

1. 在传统的连续时间 RNN 写法里，常见的是

这代表对所有神经元 $j$ 的激活 $\sigma(x_j)$ 做加权求和，再求和到神经元 $i$。

如果拆开来看，每个输出分量也都含一个求和 $\sum_{j}$：

• 输出向量的第 1 个分量（记作第 1 行的结果）：

• 输出向量的第 2 个分量（第 2 行的结果）：

2. 在使用矩阵乘法时，你可以写成

其中 $\sigma$ 表示对 $x$ 的各分量先做激活，接着用 $W_r$ 乘上去。这就是把“$\sum_j \dots$”用矩阵乘法隐藏了。

奇异值

定义

对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其奇异值是非负实数 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_r$（$r = \min(m, n)$），满足存在正交矩阵 $U$ 和 $V$，使得：

其中，$\Sigma$ 是对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。

主要特点

1. 非负性：奇异值总是非负的。
2. 对角矩阵的奇异值是对角线元素的绝对值。
3. 降序排列：通常按从大到小排列，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \geq \sigma_r \geq 0$。
4. 矩阵分解：奇异值分解（SVD）将矩阵分解为三个矩阵的乘积，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵。
5. 应用广泛：奇异值在数据降维、噪声过滤、图像压缩等领域有广泛应用。

奇异值求解

奇异值可以通过计算矩阵 $A^T A$ 或 $A A^T$ 的特征值的平方根得到。

步骤 1：计算 $A^T A$

首先，我们计算矩阵 $A$ 的转置 $A^T$：

然后，计算 $A^T A$：

步骤 2：计算 $A^T A$ 的特征值

接下来，我们计算 $A^T A$ 的特征值。特征值 $\lambda$ 满足以下特征方程：

即：

解这个方程，我们得到两个特征值：

步骤 3：计算奇异值

奇异值是特征值的平方根，因此我们计算：

结果

矩阵 $A$ 的奇异值为 4 和 3。

奇异值分解

给定一个实矩阵 $A$（形状为 $m \times n$），SVD 是将它分解为：

1. 构造 $A^T A$

   • 计算对称矩阵 $A^T A$（$n \times n$）

2. 求解 $A^T A$ 的特征值和特征向量

   • 设特征值为 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n \geq 0$
   • 对应特征向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$

3. 计算奇异值

   • $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$

4. 构造矩阵 $V$

   • 将正交归一的特征向量作为列向量：$V = [\mathbf{v}_1 | \mathbf{v}_2 | \dots | \mathbf{v}_n]$

5. 求矩阵 $U$

   • 对每个非零奇异值：$\mathbf{u}_i = \frac{A \mathbf{v}_i}{\sigma_i}$
   • 标准化（保证向量长度为 1）后组成 $U = [\mathbf{u}_1 | \mathbf{u}_2 | \dots | \mathbf{u}_m]$

6. 构造 $\Sigma$

   • 对角线放置奇异值：$\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_p)$，$p=\min(m,n)$

范数

L2范数定义：

对于一个向量 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_n]$，L2 范数定义为

假设一个权重向量为 $\mathbf{w} = [3, -4]$，则

用途：

• 正则化（L2正则化/权重衰减）：在训练过程中，加入 L2 正则项有助于防止模型过拟合。正则化项通常是权重的 L2 范数的平方，例如

其中 $\lambda$ 是正则化系数。

• 梯度裁剪：在 RNN 等深度网络中，通过计算梯度的 L2 范数来判断是否需要对梯度进行裁剪，从而防止梯度爆炸。

具体例子：

假设我们有一个简单的线性回归模型，损失函数为均方误差（MSE）：

加入 L2 正则项后，新的损失函数为：

在训练过程中，优化算法会同时最小化原始损失函数和正则项，从而在拟合训练数据的同时，避免权重值过大。

梯度更新

在梯度下降算法中，权重 $\mathbf{w}$ 的更新公式为：

对于加入 L2 正则项的损失函数，梯度为：

通过加入 L2 正则项，模型在训练过程中不仅会最小化原始损失函数，还会尽量减小权重的大小，从而避免过拟合。正则化系数 $\lambda$ 控制着正则化项的强度，较大的 $\lambda$ 会导致权重更小，模型更简单，但可能会欠拟合；较小的 $\lambda$ 则可能无法有效防止过拟合。因此，选择合适的 $\lambda$ 是使用 L2 正则化的关键。

矩阵的元素级范数

L0范数（但它 并不是真正的范数）：

• $\mathbb{I}(\cdot)$ 是指示函数（若 $a_{ij} \neq 0$ 则取 1，否则取 0）。
• 如果矩阵 $A$ 有 $k$ 个非零元素，则 $|A|_0 = k$。

1. 衡量稀疏性：

   • $|A|_0$ 越小，矩阵 $A$ 越稀疏（零元素越多）。
   • 在压缩感知、低秩矩阵恢复、稀疏编码等问题中，常用 $L_0$ 范数来 约束解的稀疏性。

2. 非凸、非连续、NP难优化：

   • $L_0$ 范数是 离散的，导致优化问题通常是 NP难 的（无法高效求解）。

   • 因此，实际应用中常用 $L_1$ 范数（绝对值之和）作为凸松弛替代： $$ |A|1 = \sum{i,j} |a_{ij}| $$

NP难问题：

可以在多项式时间内 验证一个解是否正确，但 不一定能在多项式时间内找到解。

L1范数：元素绝对值和

矩阵的核范数

核范数，又称为迹范数（trace norm），是矩阵范数的一种，定义为矩阵所有奇异值之和。对于一个矩阵 $A$（假设其奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_r$），其核范数定义为：

核范数的主要特点

1. 凸性

   • 核范数是一个凸函数，因此在优化问题中常用作替代矩阵秩的惩罚项（因为直接最小化矩阵秩是一个NP困难的问题）。

2. 低秩逼近

   • 在矩阵补全、低秩矩阵恢复等应用中，核范数被用来鼓励矩阵解具有低秩性质，因其是矩阵秩的凸松弛。

3. 与SVD的关系

   • 核范数直接依赖于矩阵的奇异值，计算时通常需要奇异值分解（SVD）。

Frobenius 范数

对于一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其 Frobenius 范数定义为

这个定义与向量 $L2$ 范数类似，只不过是对矩阵中所有元素取平方和后再开平方。

如果矩阵 $A$ 的奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$，则：

这使得 Frobenius 范数在低秩近似和矩阵分解（如 SVD）中非常有用。

迹和 Frobenius 范数的关系：

权重为向量的情况

当模型的输出是标量时（如单变量线性回归或二分类逻辑回归）：

• 输入特征：$\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d$（向量）

• 权重形状：$\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d$（向量）

• 预测公式：

其中 $\hat{y}_i$ 是标量输出。

权重为矩阵的情况

当模型的输出是向量时（如多变量回归、神经网络全连接层）：

• 输入特征：$\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d$（向量）

• 输出维度：$\hat{\mathbf{y}}_i \in \mathbb{R}^m$（向量）

• 权重形状：$W \in \mathbb{R}^{m \times d}$（矩阵）

• 预测公式：

其中 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ 是偏置向量。

矩阵的迹

迹的定义

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素之和：

迹与特征值的关系

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹等于其特征值之和。即：

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是矩阵 $B$ 的特征值。

应用到 $A^ A$*

对于矩阵 $A^* A$（如果 $A$ 是实矩阵，则 $A^* = A^T$），它是一个半正定矩阵，其特征值是非负实数。

$A^* A$ 的迹还与矩阵 $A$ 的 Frobenius 范数有直接关系。具体来说：

迹的基本性质

迹是一个线性运算，即对于任意标量 $c_1, c_2$ 和矩阵 $A, B$，有：

对于任意矩阵 $A, B, C$，迹满足循环置换性质：

注意：迹的循环置换性不意味着 $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BAC)$，除非矩阵 $A, B, C$ 满足某些特殊条件（如对称性）。

酉矩阵

酉矩阵是一种复矩阵，其满足下面的条件：对于一个 $n \times n$ 的复矩阵 $U$，如果有

其中 $U^*$ 表示 $U$ 的共轭转置（先转置再取复共轭），而 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，那么 $U$ 就被称为酉矩阵。简单来说，酉矩阵在复内积空间中保持内积不变，相当于在该空间中的“旋转”或“反射”。

如果矩阵的元素都是实数，那么 $U^*$ 就等于 $U^T$（转置），这时酉矩阵就退化为正交矩阵。

考虑二维旋转矩阵

当 $\theta$ 为任意实数时，这个矩阵满足

所以它是一个正交矩阵，同时也属于酉矩阵的范畴。

例如，当 $\theta = \frac{\pi}{4}$（45°）时，

正定\正半定矩阵

1. 正定矩阵（PD）
   $$ A \text{ 正定} \iff \forall, x \in \mathbb{R}^n \setminus {0}, \quad x^T A x > 0. $$

2. 正半定矩阵（PSD）
   $$ A \text{ 正半定} \iff \forall, x \in \mathbb{R}^n, \quad x^T A x \ge 0. $$

• PD：所有特征值都严格大于零。
  $\lambda_i(A)>0,;i=1,\dots,n$。

• PSD：所有特征值都非负。
  $\lambda_i(A)\ge0,;i=1,\dots,n$。

拉普拉斯矩阵是正半定矩阵！

对于任意实矩阵 $A$（大小为 $m\times n$），矩阵 $B = A^T A\quad(\text{大小为 }n\times n).$是半正定矩阵

• 显然
  $$ B^T = (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A = B, $$ 所以 $B$ 是对称矩阵。

• 对任意向量 $x\in\mathbb R^n$，有
  $$ x^T B,x = x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = |Ax|^2 ;\ge;0. $$ 因此 $B$ 总是 正半定（PSD） 的。

对称非负矩阵分解

1. 问题回顾

给定一个对称非负矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$，我们希望找到一个非负矩阵 $H\in\mathbb{R}^{n\times k}$ 使得

$| A - H H^T |_F^2$ 表示矩阵 $A - H H^T$ 的所有元素的平方和。

2. 梯度下降方法

2.1 计算梯度

目标函数(损失函数)是

因此，目标函数可以写成：

注意到 $A$ 和$HH^T$ 都是对称矩阵，可以简化为：

展开后得到

其中 $\operatorname{trace}(A^2)$ 与 $H$ 无关，可以看作常数，不影响梯度计算。

计算 $\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T)$

计算 $\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2)$

将两部分梯度合并：

2.2 梯度下降更新

设学习率为 $\eta>0$，则梯度下降的基本更新公式为：

由于我们要求 $H$ 中的元素保持非负，所以每次更新之后通常需要进行投影：

这种方法称为投影梯度下降，保证每一步更新后 $H$ 满足非负约束。

3. 举例说明

设对称非负矩阵：

迭代步骤：

1. 初始 ( H^{(0)} ):

目标函数值：

2. 计算梯度：

3. 更新 ( H ):

4. 更新后目标函数：

一次迭代后目标函数值从 $1.0$ 下降至 $0.8464$