草稿

严格推导过程（修正用户对白噪声的理解）

您提出的疑问非常关键。让我们重新梳理这个推导过程，特别注意白噪声项的处理。

1. 模型设定

AR(1)模型定义为：

2. 递推展开（关键步骤）

通过无限递推将 $z_t$ 表示为历史噪声的线性组合：

为什么需要 $\varepsilon_{t-j}$？
虽然所有 $\varepsilon_{t-j}$ 的方差都是 $\sigma_\varepsilon^2$，但它们是不同时刻的独立随机变量。不能合并为一个 $\varepsilon$，因为：

• 每个时间点 $t-j$ 的噪声 $\varepsilon_{t-j}$ 是独立的新信息
• 合并会丢失时间维度信息，破坏模型结构

3. 方差计算（严格推导）

利用方差的性质（独立变量线性组合的方差）：

步骤分解：

1. 独立性：$\varepsilon_{t-j}$ 相互独立 ⇒ 方差可加 $$ = \sum_{j=0}^\infty \text{Var}(\rho^j \varepsilon_{t-j}) $$
2. 常数提取：$\rho^j$ 是非随机系数 $$ = \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j}) $$
3. 同方差性：$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立 $$ = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} $$
4. 级数求和：$|\rho|<1$ 时几何级数收敛 $$ = \sigma_\varepsilon^2 \cdot \frac{1}{1-\rho^2} = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} $$

4. 为什么不能简化为单一 $\varepsilon$？

若错误地尝试合并：

2. 物理意义错误：
   • 忽略了不同时刻噪声的独立性
   • 错误地假设所有历史噪声完全相关

5. 结论

• 正确结果： $$ \text{Var}(z_t) = \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} \quad \text{（与时间 $t$ 无关）} $$
• 核心要点：
  1. 必须保留 $\varepsilon_{t-j}$ 的下标，表示不同时刻的独立噪声
  2. 几何级数求和时，系数是 $\rho^{2j}$（不是 $\rho^j$），因为方差运算涉及平方

补充说明

此推导方法是时间序列分析的标准技术（参考Box & Jenkins《Time Series Analysis》）。白噪声的独立性是保证方差可加性的关键，任何简化合并 $\varepsilon_{t-j}$ 的操作都会破坏模型的时间依赖性结构。

根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：

此时：