收缩矩阵的逐次特征值提取方法
1. 初始矩阵性质
对于实对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$，当满足：
- 非对角元素 $a_{ij}$ 独立同分布
- 均值 $\mathbb{E}[a_{ij}] = \mu$
- 方差 $\text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2$
- 对角元素 $a_{ii} = 0$
其最大特征值 $\lambda_1$ 服从高斯分布：
$$ \mathbb{E}[\lambda_1] (N-1)\mu + \frac{\sigma^2}{\mu}, \quad \text{Var}(\lambda_1) = 2\sigma^2 $$2. 收缩操作定义
通过秩一修正实现矩阵收缩：
$$ A^{(k+1)} = A^{(k)} - \lambda_k u_k u_k^T $$ 其中： - $\lambda_k$ 为当前矩阵 $A^{(k)}$ 的最大特征值 - $u_k$ 为对应特征向量（单位范数） - 初始条件 $A^{(1)} = A$3. 特征值递推关系
第 $k$ 大特征值可通过收缩矩阵提取：
$$ \lambda_k(A) = \lambda_1(A^{(k)}) $$若收缩后矩阵 $A^{(k)}$ 保持：
- 非对角元素均值 $\mu_k$
- 方差 $\sigma_k^2$
则特征值统计量满足：
$$ \begin{cases} \mathbb{E}[\lambda_k] = (N-k)\mu_k + \frac{\sigma_k^2}{\mu_k} \\ \text{Var}(\lambda_k) = 2\sigma_k^2 \end{cases} $$4. 实现步骤
- 初始化：设 $A^{(1)} = A$，$k=1$
- 迭代过程：
while k <= K: # 计算当前最大特征对 λ, u = eigsh(A^{(k)}, k=1) # 记录统计量 λ_sequence[k] = λ # 执行收缩 A^{(k+1)} = A^{(k)} - λ * u @ u.T # 验证新矩阵性质 μ_k = np.mean(A^{(k+1)}[off_diag]) σ²_k = np.var(A^{(k+1)}[off_diag]) k += 1
$\sigma_1$.
您说得对，在奇异值分解(SVD)中，通常用 u 和 v 来表示左右奇异向量。以下是修正后的Markdown格式表示：
对于随机网络矩阵 A，设奇异值从大到小依次为 {\sigma _1},{\sigma _2}, \ldots ,{\sigma _n}，对应的左、右奇异向量分别为 ${u}_1, {u}_2, \ldots, {u}_n$ 和 ${v}_1, {v}_2, \ldots,{v}_n$。
或者更紧凑地表示为：
A = \sum_{i=1}^n \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^\top
需要其他数学符号表示或格式调整可以随时告诉我！
不必大动干戈，只要把“等号”换成“近似”等价写法，或显式加上误差项，就足够严谨。下面给出两种常见做法，你任选其一即可——
| 写法 | 建议格式 | 说明 |
|---|---|---|
| 近似号写法 | E[σ1]≈(N−1)μ+v+σ2μ,Var[σ1]≈2σ2E[\sigma_1]\approx (N-1)\mu+v+\dfrac{\sigma^2}{\mu},\qquad \operatorname{Var}[\sigma_1]\approx 2\sigma^2 | 直接用 “≈” 表明这是 N→∞N\to\infty 的主导项；与前面“可在 O(1/N)O(1/\sqrt N) 范围内逼近高斯”完全呼应。 |
| 误差项写法 | E[σ1]=(N−1)μ+v+σ2μ+O (1N),Var[σ1]=2σ2+O (1N)E[\sigma_1]=(N-1)\mu+v+\dfrac{\sigma^2}{\mu}+O!\left(\tfrac{1}{N}\right),\qquad \operatorname{Var}[\sigma_1]=2\sigma^2+O!\left(\tfrac{1}{N}\right) | 把小量显式写成 O(1/N)O(1/N)。这样保留等号，同时说明误差级别，更“硬核”一些。 |
为什么推荐修改？
- 你的正文已经说“在 O(1/N)O(1/\sqrt N) 的范围内可被高斯分布逼近”，说明后续公式仅是渐近主项。直接用 “=” 容易让读者误以为 完全等于 主项。
- 只要在公式里加 “≈” 或 “+O(\cdot)” 就能避免歧义，而且和引用的 F & K 定理保持一致。
其余内容（条件、符号、文字描述）都没问题，不必再改。
$\approx$