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证明特征值序列为平稳的时间序列

问题设定

• 研究对象
  设 ${\lambda_1(A)t}{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。
• 目标
  证明 ${\lambda_1(A)_t}$ 是 二阶（弱）平稳的时间序列，即
  1. $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）；
  2. $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）；
  3. $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)t,\lambda_1(A){t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。

关键假设

• 矩阵统计特性（引理 1）

  • $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 ${a_{ij}}{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a{ij}|\le K$。

  • 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。

  • $N$ 足够大时
    $$ E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad \operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 . $$

说明：

• $\sigma^2$
  这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即
  $$ \text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2. $$ 根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。

• $\sigma_1^2$
  这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即
  $$ \text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2. $$ 当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。

• 时间序列模型
  对去中心化序列
  $$ \tilde z_t:=\lambda_1(A)t-\mu_1 $$ 假设其服从 AR(1)
  $$ \tilde z_t=\rho,\tilde z{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1, $$ 且 $\varepsilon_t$ 与历史 ${\tilde z_{s}}_{s<t}$ 独立。

证明主特征值序列平稳

(1) 均值恒定性的推导

• 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此 $$ E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1, $$ 与 $t$ 无关，满足第一条。

(2) 方差恒定

AR(1)模型定义为：

由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立，

• $|\rho| < 1$ 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。

根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：

此时：

(3) 协方差仅依赖滞后 $k$

对 $k\ge0$，

(4) 平稳性的核心条件

1. |ρ| < 1 是关键条件
   • 直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱；
   • $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。
2. 噪声独立性：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。

证明剩余特征值平稳（大模型说不可取）：

1. 收缩操作（Deflation）的严格定义

设 $A_t$ 的谱分解为：

• 第一次收缩：
  定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：

  • 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。
  • 特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。

• 第 $k$ 次收缩：
  递归定义： $$ A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top, $$ 剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。

每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。

2. 剩余特征值的统计特性

目标：证明 ${\lambda_k(A_t)}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。

(1) 均值恒定性

• 剩余矩阵的期望：
  由线性性： $$ E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top]. $$ 若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。

• 特征值期望：
  对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为： $$ E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1}, $$ 其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。

(2) 方差恒定性

• 剩余矩阵的方差：
  收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。
  由引理1的推广： $$ \text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2. $$

• 动态模型：
  假设去中心化序列 $\tilde{z}{k+1,t} = \lambda{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)： $$ \tilde{z}{k+1,t} = \rho{k+1} \tilde{z}{k+1,t-1} + \varepsilon{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1, $$ 稳态方差为： $$ \sigma_{\tilde{z}{k+1}}^2 = \frac{\sigma{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2. $$

(3) 协方差仅依赖滞后 $m$

• 协方差函数： $$ \gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}{k+1,t}, \tilde{z}{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2. $$ 仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。

3. 递推证明的完整性

1. 归纳基础：
   $k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。

2. 归纳假设：
   假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即：

   • $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数），
   • $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限），
   • $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。

3. 归纳步骤：

   • 通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。
   • 若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。

JB-test

JB-test（Jarque-Bera test） 是一种用于检验样本数据是否服从正态分布的统计假设检验方法。这个检验特别适用于判断数据的偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是否符合正态分布的特性。

正态分布具有以下特性：

• 偏度（Skewness） 为 $0$，表示数据的分布是对称的。
• 峰度（Kurtosis） 为 $3$，表示数据的峰度是"中等"的。

JB-test的统计量

Jarque-Bera统计量的计算公式为：

其中：

• $n$ 是样本的大小。
• $S$ 是样本的偏度（skewness），衡量分布的对称性。
• $K$ 是样本的峰度（kurtosis），衡量分布的尖峭程度。

JB-test的分布和检验步骤

• 零假设（$H_0$）：数据服从正态分布。
• 备择假设（$H_1$）：数据不服从正态分布。

在进行检验时，首先计算 JB 统计量，然后将其与卡方分布进行比较：

• JB 统计量的分布近似于自由度为 $2$ 的卡方分布（当样本量较大时）。
• 如果 JB 统计量的值大于临界值（根据设定的显著性水平，比如 $0.05$），则拒绝零假设，即认为数据不符合正态分布。
• 如果 JB 统计量的值小于临界值，则无法拒绝零假设，即认为数据服从正态分布。

结论

• 如果 JB 统计量接近 $0$，说明数据的偏度和峰度与正态分布的期望非常接近，数据可能符合正态分布。
• 如果 JB 统计量远离 $0$，则说明数据的偏度或峰度与正态分布的特征差异较大，数据不符合正态分布。

特征值精度预估

1. 噪声随机变量与协方差

说明：

• 在矩阵形式的 Kalman Filter 中，通常写作
  $$ w_k\sim\mathcal N(0,Q),\quad v_k\sim\mathcal N(0,R). $$

• 这里为做统计检验，把 $w_i, v_j$ 当作样本，$Q,R$ 就是它们在标量情况下的方差。

2. 样本统计量

定义：
$$ \bar w = \frac1{N_w}\sum_{i=1}^{N_w}w_i,\quad s_w^2 = \frac1{N_w-1}\sum_{i=1}^{N_w}(w_i-\bar w)^2, $$

$$ \bar v = \frac1{N_v}\sum_{j=1}^{N_v}v_j,\quad s_v^2 = \frac1{N_v-1}\sum_{j=1}^{N_v}(v_j-\bar v)^2. $$

3. 方差比的 $F$ 分布区间估计

1. 构造 $F$ 统计量
   $$ F = \frac{(s_w^2/Q)}{(s_v^2/R)} = \frac{s_w^2}{s_v^2},\frac{R}{Q} \sim F(N_w-1,,N_v-1). $$

2. 置信区间（置信度 $1-\alpha$）
   查得
   $$ F_{L}=F_{\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),\quad F_{U}=F_{1-\alpha/2}(N_w-1,N_v-1), $$ 则
   $$ \begin{align*} P\Big{F_{\rm L}\le F\le F_{\rm U}\Big}=1-\alpha \quad\Longrightarrow \quad P\Big{F_{\rm L},\le\frac{s_w^2}{s_v^2},\frac{R}{Q}\le F_{\rm U},\Big}=1-\alpha. \end{align*} $$

3. 解出 $\frac{R}{Q}$ 的区间
   $$ P\Bigl{,F_{L},\frac{s_v^2}{s_w^2}\le \frac{R}{Q}\le F_{U},\frac{s_v^2}{s_w^2}\Bigr}=1-\alpha. $$ 令
   $$ \theta_{\min}=\sqrt{,F_{L},\frac{s_v^2}{s_w^2},},\quad \theta_{\max}=\sqrt{,F_{U},\frac{s_v^2}{s_w^2},}. $$

4. 卡尔曼增益与误差上界

在标量情况下（即状态和观测均为1维），卡尔曼增益公式可简化为：

针对我们研究对象，特征值滤波公式的系数都属于实数域。$P_{k-1}$是由上次迭代产生，因此可以$FP_{k-1}F^T$看作定值，则$P_k$的方差等于$Q$的方差，即：

令 $c = H$, $m = 1/H$（满足 $cm = 1$），则：

则极值为

通过历史数据计算预测误差的均值：

量化噪声方差估计的不确定性，进而评估卡尔曼滤波器增益的可能波动，并据此给出滤波误差的上界.

基于时空特征的节点位置预测

在本模型中，整个预测流程分为两大模块：

• GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的空间表示**。这里的输入主要包括：

  • 邻接矩阵 $A$：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 $N$ 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取)
  • 特征矩阵 $H^{(0)}$：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 $d$ 是初始特征维度。

• LSTM 模块：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。
  其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 $T$ 表示时间步数，$d'$ 是经过 GCN 后的特征维度。

GCN 模块

输入

• 邻接矩阵 $A$：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成 $$ \hat{A} = A + I. $$

• 特征矩阵 $H^{(0)}$：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。

图卷积操作

常用的图卷积计算公式为：

• $\tilde{A} = A + I$ 为加上自环后的邻接矩阵，
• $\tilde{D}$ 为 $\tilde{A}$ 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}{ii} = \sum{j}\tilde{A}_{ij}$；
• $H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点特征，初始时 $H^{(0)}$ 就是输入特征矩阵；
• $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 $d$ 到 $d'$）；
• $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。

经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。
其中：

• 每一行 $x_i \in \mathbb{R}^{d'}$ 表示节点 $i$ 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。

输出

• GCN 输出：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。
• 这里 $d'>d$ 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。

LSTM 模块

输入数据构造

在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 $T$ 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 $T+2$...

• 对于每个时刻 $t$，节点 $i$ 的空间特征 $x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'}$ 由 GCN 得到；

• 将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列： $$ X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},, x_i^{(t-T+2)},, \dots,, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}. $$

对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。

LSTM 内部运作

LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$ 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 $C_t$ 和隐藏状态 $h_t$。公式如下

• 遗忘门： $$ f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},, x_t] + b_f) $$

• 输入门和候选记忆： $$ i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}t = \tanh(W_C [h{t-1},, x_t] + b_C) $$

• 记忆更新： $$ C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t $$

• 输出门和隐藏状态： $$ o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t) $$

其中，$x_t$ 在这里对应每个节点在时刻 $t$ 的 GCN 输出特征；
$[h_{t-1},, x_t]$ 为连接后的向量；

LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 $d''$ 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。

输出与预测

最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 $h_t$ 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。

• 全连接层转换公式： $$ \hat{y}i = W{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}} $$

其中，假设预测的是二维坐标（例如 $x$ 和 $y$ 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 $\hat{y}_i \in \mathbb{R}^2$ 表示节点 $i$ 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。

若整个网络有 $N$ 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。

疑问

该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！